Замыкание и замкнутость

[geoffrey]

Показать, что замыкание $\overline{E}$ в $\mathbb R^m$ любого множества $E\subset \mathbb R^m$ является множеством замкнутым в $\mathbb R^m$
Это задание из Зорича (после главы VII). У него замыкание опр. как объединение множества $E$ и всех его предельных точек из $\mathbb R^m$ (точка $a\in\mathbb R^m$ наз. передельной множества $E\subset \mathbb R^m$, если для любой окрестности точки $O(a)$ пересечение $E\cap O(a)$ есть бесконечное множество )
А в начальных книгах по топологии (к примеру, Виро О. Элементарная топология) замыкание опр. как наименьшее содержащее его замкнутое множество.
Мне кажется я чего-то не улавливаю, если использовать второе определение замыкания, то задание выше решается исходя из опр. замыкания, я не уверен.
А вот если использовать первое определения то возникают у меня трудности, никак в голове не связываются замкнутость и предельность (хотя в учебнике Рудина написано, что множество замкнуто, если каждая точка этого множества является предельной, и как следствие выводится замкнутость через открытость дополнения)

[Someone]

geoffrey в сообщении #609023 писал(а):

в учебнике Рудина написано, что множество замкнуто, если каждая точка этого множества является предельной

Вы как-то не так прочитали определение замкнутого множества. У Зорича-то как замкнутое множество определяется? Если задача из книги Зорича, то и определение надо брать оттуда.

[ewert]

geoffrey в сообщении #609023 писал(а):

А в начальных книгах по топологии (к примеру, Виро О. Элементарная топология) замыкание опр. как наименьшее содержащее его замкнутое множество.

Чудес не бывает -- тогда теоремой станет утверждение Зорича (т.е. наиболее общепринятое в анализе). Разница, по-видимому, обусловлена тем, что топология в анализе далеко не общая, а очень-очень частная, и здесь удобнее говорить на более конкретном языке.

geoffrey в сообщении #609023 писал(а):

хотя в учебнике Рудина написано, что множество замкнуто, если каждая точка этого множества является предельной,

Это как сказать. Если у Рудина действительно буквально так, то это означает, что они с Зоричем понимают под словами "предельная точка" разные вещи: предельная точка по Рудину -- это или предельная по Зоричу, или изолированная. Обе традиции в литературе действительно встречаются.

[geoffrey]

У Зорича:
1. Замыкание опр. как объединение множества $E$ и всех его предельных точек из $\mathbb R^m$
Исходя из этого, как мне показать, что замыкание любого множества является замкнутым?
Правильно ли я понимаю, что мне нужно показать, иными словами, что если множество содержит все свои предельные точки, то оно замкнуто?

[ewert]

geoffrey в сообщении #609046 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что мне нужно показать, иными словами, что если множество содержит все свои предельные точки, то оно замкнуто?

Это зависит от того, что Зорич считал замкнутым множеством по определению. Вы этого не сказали, а ведь Вас просили.

[geoffrey]

Прошу прощения, невнимательно прочитал замкнутое как замыкание.
У него замкнутость определяется классически: множество замкнуто, если его дополнение открыто.

[ewert]

Тогда лучше всего предварительно доказать (или найти в книжке, там не может не быть) стандартный факт: множество замкнуто в этом смысле тогда и только тогда, когда содержит все свои предельные точки.

[geoffrey]

ewert
да, там есть такое утверждение, правильно ли я понимаю, что из этого факта как раз и вытекает искомое решение?

[ewert]

geoffrey в сообщении #609126 писал(а):

правильно ли я понимаю, что из этого факта как раз и вытекает искомое решение?

Не то чтоб непосредственно вытекало, но это делает рассуждения существенно более сознательными. До кучи было бы полезно ещё и привести в чувство зорическое определение предельной точки (уж больно оно вычурно): установить, что точка является предельной для данного множества тогда и только тогда, когда она является пределом некоторой последовательности точек множества, не совпадающих с данной точкой. Или то же самое на немного другом языке: когда эту точку можно сколь угодно точно приблизить другими точками, принадлежащими множеству.

[Someone]

geoffrey в сообщении #609058 писал(а):

множество замкнуто, если его дополнение открыто

Ну так и покажите, что дополнение замыкания множества $A\subseteq X$ является открытым. Что для этого нужно доказать? Как определялись открытые множества?