2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 04:23 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
Хочу вычислить интеграл $\int\limits_{-\infty}^\infty dx e^{-{1 \over 2} a x^2} e^{iJx}$ ($a,J>0$) с помощью вычетов. Не уверен, что это возможно, так как не получается. Но в чём ошибка понять не могу.
Итак, первая экспонента обращается в нуль при большом по абсолютной величине вещественном $x$ (вторая экспонента при этом ограничена), вторая экспонента обращается в нуль при чисто мнимом $x$ с большой положительной мнимой частью (первая при этом ограничена). Значит контур можно замкнуть в верхней полуплоскости. Но полюсов у подинтегральной функции нет, поэтому результат получается $0$, что неверно. Помогите пожалуйста понять, в чём ошибка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 06:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #608919 писал(а):
Не уверен, что это возможно, так как не получается.

:lol:

Пробовали интегрировать по прямоугольнику с вершинами $(0,-R),(R,0),(R,1),(-R,1)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 10:17 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
xmaister в сообщении #608925 писал(а):
Пробовали интегрировать по прямоугольнику с вершинами $(0,-R),(R,0),(R,1),(-R,1)$?

Наверное здесь описка и имелось в виду $(0,-R),(R,0),(0,R),(-R,0)$? В любом случае не пробовал. Cкорее всего такой интеграл нельзя вычислить аналитически. И не очень понятно, почему должен был пробовать и как это связано с моим затруднением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 11:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
warlock66613 в сообщении #608956 писал(а):
Наверное здесь описка и имелось в виду $(0,-R),(R,0),(0,R),(-R,0)$?

Нет, имелось в виду то, что имелось, только под единичкой следует понимать соответствующую комбинацию параметров $a$ и $J$. Выпишите сумму четырёх интегралов и посмотрите, что из неё получится, если увести $R$ на бесконечность.

(полюсов здесь действительно никаких нет и сводить надо не к ним, а к известному из вещественного анализа интегралу Пуассона)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 21:04 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
ewert в сообщении #608971 писал(а):
сводить надо не к ним, а к известному из вещественного анализа интегралу Пуассона

Это я догадался. У меня нет проблем с тем, чтобы вычислить этот интеграл. Проблема в том, что вроде бы верное рассуждение даёт для него же 0 и непонятно почему. Но попробую сделать как вы сказали - может что-то проянится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 21:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
warlock66613 в сообщении #609229 писал(а):
Проблема в том, что вроде бы верное рассуждение даёт для него же 0 и непонятно почему.

Ну как оно может дать ноль, если ноль получается в сумме и при этом одно из слагаемых в пределе даёт интеграл Пуассона, который уж точно не ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 22:24 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
ewert в сообщении #609253 писал(а):
Ну как оно может дать ноль, если ноль получается в сумме и при этом одно из слагаемых в пределе даёт интеграл Пуассона, который уж точно не ноль.


Понял - всё дело в том, что при интегрировании по бесконечно удалённой полукружности подинтегральное выражение не везде равно нулю. Грубо говоря
$e^{-{1 \over 2} a z^2} e^{iJz}=e^{-{a \over 2}(x^2 - y^2)-Jy}e^{i(Jx-axy)} \ne 0$ если $-{a \over 2}(x^2 - y^2)-Jy = 0$
($z=x+iy$)

Вопрос закрыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 22:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
warlock66613 в сообщении #609265 писал(а):
при интегрировании по бесконечно удалённой полукружности

Тут не полуокружность нужна. Вам же чётко подсказали: надо рассматривать интеграл по прямоугольнику. При фиксированной высоте интегралы по крайней левой и по крайней правой стенкам очевидно устремятся к нулю -- а значит, и интегралы по двум бесконечным горизонтальным основаниям совпадут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение22.08.2012, 23:42 
Заслуженный участник


02/08/11
7003
ewert в сообщении #609271 писал(а):
Тут не полуокружность нужна. Вам же чётко подсказали: надо рассматривать интеграл по прямоугольнику. При фиксированной высоте интегралы по крайней левой и по крайней правой стенкам очевидно устремятся к нулю -- а значит, и интегралы по двум бесконечным горизонтальным основаниям совпадут.

Охотно верю и как-нибудь обязательно проверю. Только это к моему исходному вопросу отношения не имеет никакого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить интеграл
Сообщение23.08.2012, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
warlock66613 в сообщении #609295 писал(а):
Только это к моему исходному вопросу отношения не имеет никакого.

Как раз таки имеет. Вы же знаете что при подсчете интегралов "с помощью вычетов" можно использовать какие угодно контуры интегрирования, не обязательно полуокружность. А Ваша экспонента под интегралом какбэ намекает на прямоугольник.
ewert в сообщении #608971 писал(а):
только под единичкой следует понимать соответствующую комбинацию параметров $a$ и $J$

Да, точно :oops:.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group