Вычислить интеграл

[warlock66613]

Хочу вычислить интеграл $\int\limits_{-\infty}^\infty dx e^{-{1 \over 2} a x^2} e^{iJx}$ ($a,J>0$) с помощью вычетов. Не уверен, что это возможно, так как не получается. Но в чём ошибка понять не могу.
Итак, первая экспонента обращается в нуль при большом по абсолютной величине вещественном $x$ (вторая экспонента при этом ограничена), вторая экспонента обращается в нуль при чисто мнимом $x$ с большой положительной мнимой частью (первая при этом ограничена). Значит контур можно замкнуть в верхней полуплоскости. Но полюсов у подинтегральной функции нет, поэтому результат получается $0$, что неверно. Помогите пожалуйста понять, в чём ошибка.

[xmaister]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #608919 писал(а):

Не уверен, что это возможно, так как не получается.

Пробовали интегрировать по прямоугольнику с вершинами $(0,-R),(R,0),(R,1),(-R,1)$?

[warlock66613]

xmaister в сообщении #608925 писал(а):

Пробовали интегрировать по прямоугольнику с вершинами $(0,-R),(R,0),(R,1),(-R,1)$?

Наверное здесь описка и имелось в виду $(0,-R),(R,0),(0,R),(-R,0)$? В любом случае не пробовал. Cкорее всего такой интеграл нельзя вычислить аналитически. И не очень понятно, почему должен был пробовать и как это связано с моим затруднением.

[ewert]

warlock66613 в сообщении #608956 писал(а):

Наверное здесь описка и имелось в виду $(0,-R),(R,0),(0,R),(-R,0)$?

Нет, имелось в виду то, что имелось, только под единичкой следует понимать соответствующую комбинацию параметров $a$ и $J$. Выпишите сумму четырёх интегралов и посмотрите, что из неё получится, если увести $R$ на бесконечность.

(полюсов здесь действительно никаких нет и сводить надо не к ним, а к известному из вещественного анализа интегралу Пуассона)

[warlock66613]

ewert в сообщении #608971 писал(а):

сводить надо не к ним, а к известному из вещественного анализа интегралу Пуассона

Это я догадался. У меня нет проблем с тем, чтобы вычислить этот интеграл. Проблема в том, что вроде бы верное рассуждение даёт для него же 0 и непонятно почему. Но попробую сделать как вы сказали - может что-то проянится.

[ewert]

warlock66613 в сообщении #609229 писал(а):

Проблема в том, что вроде бы верное рассуждение даёт для него же 0 и непонятно почему.

Ну как оно может дать ноль, если ноль получается в сумме и при этом одно из слагаемых в пределе даёт интеграл Пуассона, который уж точно не ноль.

[warlock66613]

ewert в сообщении #609253 писал(а):

Ну как оно может дать ноль, если ноль получается в сумме и при этом одно из слагаемых в пределе даёт интеграл Пуассона, который уж точно не ноль.

Понял - всё дело в том, что при интегрировании по бесконечно удалённой полукружности подинтегральное выражение не везде равно нулю. Грубо говоря
$e^{-{1 \over 2} a z^2} e^{iJz}=e^{-{a \over 2}(x^2 - y^2)-Jy}e^{i(Jx-axy)} \ne 0$ если $-{a \over 2}(x^2 - y^2)-Jy = 0$
($z=x+iy$)

Вопрос закрыт.

[ewert]

warlock66613 в сообщении #609265 писал(а):

при интегрировании по бесконечно удалённой полукружности

Тут не полуокружность нужна. Вам же чётко подсказали: надо рассматривать интеграл по прямоугольнику. При фиксированной высоте интегралы по крайней левой и по крайней правой стенкам очевидно устремятся к нулю -- а значит, и интегралы по двум бесконечным горизонтальным основаниям совпадут.

[warlock66613]

ewert в сообщении #609271 писал(а):

Тут не полуокружность нужна. Вам же чётко подсказали: надо рассматривать интеграл по прямоугольнику. При фиксированной высоте интегралы по крайней левой и по крайней правой стенкам очевидно устремятся к нулю -- а значит, и интегралы по двум бесконечным горизонтальным основаниям совпадут.

Охотно верю и как-нибудь обязательно проверю. Только это к моему исходному вопросу отношения не имеет никакого.

[xmaister]

warlock66613 в сообщении #609295 писал(а):

Только это к моему исходному вопросу отношения не имеет никакого.

Как раз таки имеет. Вы же знаете что при подсчете интегралов "с помощью вычетов" можно использовать какие угодно контуры интегрирования, не обязательно полуокружность. А Ваша экспонента под интегралом какбэ намекает на прямоугольник.

ewert в сообщении #608971 писал(а):

только под единичкой следует понимать соответствующую комбинацию параметров $a$ и $J$

Да, точно .