Комплексные числа и отрицательные частоты

[oliva]

Давно интересует глупый вопрос:

Какой смысл отрицательных частот в комплексном выражении для спектра сигнала?
Что такое отрицательная частота?

[Developer]

Интересно, а в каком выражении для электромагнитной волны или спектра сигнала Вы видели отрицательную частоту?
Например, ни $e^{-i \omega t}$, ни $e^{i \omega t}$ не содержат отрицательной частоты

[Dolopihtis]

oliva писал(а):

Какой смысл отрицательных частот в комплексном выражении для спектра сигнала?
Что такое отрицательная частота?

Формальный математический прием. Важно то , что для спектра реального сигнала всегда $S(\omega) = S^{*} (-\omega) $, где звездочка означает комплексное сопряжение. Таким образом при суммировании по всем частотам получается вещественное значение.

[grisania]

oliva писал(а):

Давно интересует глупый вопрос:

Какой смысл отрицательных частот в комплексном выражении для спектра сигнала?
Что такое отрицательная частота?

Быстрое преобразование легче изложить для комплексного сигнала, а вообще что-то в этих отрицательных частотах есть.

[Котофеич]

oliva писал(а):

Давно интересует глупый вопрос:
Какой смысл отрицательных частот в комплексном выражении для спектра сигнала?
Что такое отрицательная частота?

Линде когда то предложил новый физический смысл для отрицательных энергий в КТП.Но большого энтузиазма, эта его идея, пока не вызвала.

[oliva]

Я так понял, что отр. частоты придумали для упрощения расчетов, и только.
Таким образом, живем мы в действительном мире, где есть временная и частотная области.

Но если мы представим, что есть мнимая частотная область, и распространим на нее то же, что имеем в действительной (развернув) , то расчеты между действительными временной и частотной областями упростятся .

Верно

[Dolopihtis]

oliva писал(а):

Но если мы представим, что есть мнимая частотная область, и распространим на нее то же, что имеем в действительной (развернув) , то расчеты между действительными временной и частотной областями упростятся .

Верно

В математике (в теории функций комплексной переменной ) такая операция называется "Аналитическое продолжение".

[oliva]

Спасибо всем. Кажется, я понял.

[grisania]

oliva писал(а):

Спасибо всем. Кажется, я понял.

Комплексные экспоненты очень важны в физике. Они являются характерами группы сдвигов на бесконечной прямой. Популярно на эту тему см. здесь:
Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. – 2-е издание. – М.: Наука; Главная редакция изданий для зарубежных стран, 1983. – 344 с.
II. ГРУППЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА http://grachev62.narod.ru/Cybern/ch_02.htm
Также без комплексных экспонент нельзя жить в квантовой механике. Если что-то как бы не двигается в пространстве в квантовой механике, хоть время течет, то этому мы обязаны комплексной экспоненте. Время идет, волновая функция только умножается комплексную экспоненту, значит, модуль волновой функции не меняется, и атом как был локализован в какой-то точке пространства так там и остался и мы с вами тоже

[Freude]

Еще может быть такая интерпретация. Двигать основную частоту можно как угодно, умножая на $e^{i \omega t}$. Это вопрос выбора нуля на частотной шкале. Например классическая квантовомеханическая задача о потенциальной яме. Можно начало отсчета энергии поместить на дно ямы, тогда все энергии (частоты) будут положительными, а можно нуль поставить в соотвествие с потолком ямы. В последнем случае положителыные энергии соотвествуют нелокализованным состояниям, а отрицательные - локализованным.

Еще сюда можно приплесть вторичное квантование - Дирак, кажется, ввел впервые в квантовую механику отрицательные энергии, что позволило свести задачу с очень большим числом частиц к задаче с небольшим числом частиц в окрестности термодинамического равновесия.

[oliva]

Привет всем.
У меня тут возник ещо один вопрос в развитие (пардон что с опозданием).

Всегда ли комплексный спектр симметричен относительно начала координат ?

[Lexey]

oliva писал(а):

Всегда ли комплексный спектр симметричен относительно начала координат ?

Нет, только для действительных (в смысле с нулевой мнимой частью) сигналов. В этом случае отрицательная часть спектра не имеет смысла поскольку не несет полезной информации.

Но в радиотехнике, например, широко используется сдвиг частоты таким образом как писал Freude реальными устойствами (смесителями) на выходе которых можно получить комплексный сигнал в виде пары простых сигналов (действительная и мнимая части). В этом случае отрицательная частота комплексного сигнала может соответствовать положительной частоте на входе смесителя, в этом и будет ее смысл.

Отбрасывание мнимой части комплексного сигнала эквивалентно сложению его с комплексно-сопряженным сигналом, спектр которого является зеркальным отображением исходного комплексного сигнала. В результате спектр становится симметричным. В этом случае информация о знаке частот спектральных составляющих исходного комплексного сигнала теряется.