Самосогласованный стационарный неточечный заряд в ОТО

[epros]

Munin в сообщении #606005 писал(а):

какое ускорение будет испытывать пылинка, находящаяся ближе этого радиуса

Статические задачи ОТО хороши тем, что гравитацию можно считать скалярным полем с потенциалом $\varphi = \frac{c^2}{2} \ln g_{t t}$, а ускорение свободного падения - градиентом потенциала, т.е. $g = -\frac{d\varphi}{dl}$, где $dl$ - элемент пространственной длины. В частном случае радиального движения: $dl = \sqrt{-g_{r r}} dr$. Итого, $g = -\frac{c^2}{2 g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}} \frac{d g_{t t}}{dr}$.

Собсно, дальше, имея выражения для $g_{t t}$ и для $g_{r r}$, нетрудно посчитать ускорение свободного падения. Далее я ленюсь ... Однако по виду формулы можно сказать, что при малых $r$ имеем $g \sim \frac{1}{r^2}$ - довольно-таки быстро растущие силы отталкивания.

Munin в сообщении #606005 писал(а):

и какую скорость на этом радиусе (или на бесконечности) должна иметь пылинка, чтобы по инерции добраться до центра?

Добраться до центра нельзя ни при какой начальной скорости, что видно из положительной бесконечности гравитационного потенциала при $r \to 0$. Не поможет даже, если пылинка будет иметь противоположный по знаку электрический заряд: Хотя силы электрического притяжения растут при приближении к центру, но всё же медленнее, чем силы гравитационного отталкивания. (Последнее зачёркиваю в связи с неочевидностью, тут надо ещё подумать).

-- Вт авг 14, 2012 18:10:40 --

epros в сообщении #606038 писал(а):

Не поможет даже, если пылинка будет иметь противоположный по знаку электрический заряд: Хотя силы электрического притяжения растут при приближении к центру, но всё же медленнее, чем силы гравитационного отталкивания. (Последнее зачёркиваю в связи с неочевидностью, тут надо ещё подумать).

Пересчитал. У меня получается, что при определённом отношении заряда пылинки к её массе она может упасть в центр.

[Munin]

epros в сообщении #606038 писал(а):

Статические задачи ОТО хороши тем, что гравитацию можно считать скалярным полем с потенциалом

Нельзя, там ещё ограничения на пространственную метрику есть. Я надеялся от вас полноценный расчёт увидеть.

Если сделаете, и результат получится тот же - от меня будут круглые глаза.

epros в сообщении #606038 писал(а):

Добраться до центра нельзя ни при какой начальной скорости, что видно из положительной бесконечности гравитационного потенциала

Вот в этом-то и ошибочность аналогии со скалярным потенциалом.

epros в сообщении #606038 писал(а):

Пересчитал. У меня получается, что при определённом отношении заряда пылинки к её массе она может упасть в центр.

А теперь пересчитывайте заново, не пользуясь скалярным упрощением.

[epros]

Munin, Вы мне загадки что-ли здесь собираетесь загадывать, чтобы потом позлорадствовать: ага, мол, не угадал? Если так, то давайте сразу и рассказывайте, как по-Вашему правильно.

Munin в сообщении #606059 писал(а):

Нельзя, там ещё ограничения на пространственную метрику есть

Конкретнее плизз. Напоминаю, что речь была о статическом решении, т.е. метрика независима от времени и пространственно-временные компоненты нулевые.

Munin в сообщении #606059 писал(а):

Я надеялся от вас полноценный расчёт увидеть.

Что конкретно не устраивает? Формулу $g = -\frac{c^2}{2 g_{t t} \sqrt{-g_{r r}}} \frac{d g_{t t}}{dr}$ можно вывести и без упоминания скалярного потенциала. Достаточно определить ускорение свободного падения как вторую производную пройденного расстояния по местному времени для геодезической с изначально нулевой скоростью.

Кстати, я мог бы привести и вывод формулы скалярного потенциала для статического решения, но пока не буду этого делать - буду ждать Ваших ответов.

Munin в сообщении #606059 писал(а):

Вот в этом-то и ошибочность аналогии со скалярным потенциалом

Опять же, надеюсь на объяснения. Я, конечно, понимаю, что определённое выше $g$ - не есть ускорение для пылинки, имеющей ненулевую скорость. Однако, где обоснование того, что мой ответ - неверный?

Вообще, к чему все эти каверзные вопросы? Вы что-то имеете против моего изначального утверждения о том, что находящаяся на соответствующем расстоянии от центра пылинка никуда не будет падать?

[Утундрий]

Извлечение из моих давнишних размышлений на похожую тему: матричнозначность не спасает и Я-М дают ровно такое же поведение при $r \to 0$, что э.м.-поле. Таким образом, что не удалось с Маквеллом, то не удастся и с Янгом-Миллсом.

[Munin]

epros в сообщении #606097 писал(а):

Munin, Вы мне загадки что-ли здесь собираетесь загадывать, чтобы потом позлорадствовать: ага, мол, не угадал?

Нет, просто прошу посчитать то, что самому лень.

epros в сообщении #606097 писал(а):

Вы что-то имеете против моего изначального утверждается о том, что находящаяся на соответствующем расстоянии от центра пылинка никуда не будет падать?

Пока нет, надо подумать почему.

Утундрий в сообщении #606103 писал(а):

Извлечение из моих давнишних размышлений на похожую тему: матричнозначность не спасает

А если это одновременно монополь?

[Утундрий]

Просто хотелось бы чего-то вакуумного. А если есть еще какие-то скалярные поля, то почему бы и не быть решению. В плоском случае ведь есть.

Кстати, если добавить в действие квадратичные по кривизне члены, то для чистой гравитации скалярная кривизна будет удовлетворять уравнению $R = \pm l^2 \square R$, вместо стандартного $R = 0$. Может быть стоит поискать среди его решений?

[Munin]

Утундрий в сообщении #606432 писал(а):

Просто хотелось бы чего-то вакуумного.

Ну так, монополь весь состоит из вакуума. В смысле...

[Утундрий]

В общем, я тут поелозил по бумаге...

Рассмотрим лагранжиан

$$L = R + l^2 \left( {\kappa _1 R^2 + \kappa _2 R^{\alpha \beta } R_{\alpha \beta } } \right)$$

дающий следующие уравнения поля

$$\[ R_{\mu \nu } - \frac{1} {2}Rg_{\mu \nu } = \kappa _1 l^2 \left( { - 2RR_{\mu \nu } + \frac{1} {2}R^2 g_{\mu \nu } } \right) + \kappa _2 l^2 \left( { - 2R_{\mu \alpha \nu \beta } R^{\alpha \beta } + \frac{1} {2}R^{\alpha \beta } R_{\alpha \beta } g_{\mu \nu } } \right) + \kappa l^2 \left( {R_{;\mu \nu } - \frac{1} {2}\square Rg_{\mu \nu } } \right) \] $$

где $\kappa \equiv 2\kappa _1 + \kappa _2 $ и $\square R \equiv R_{;\alpha }^{;\alpha } $. Их свёртка даст

$$\[ R = \left( {2 - \frac{n} {2}} \right)L + \left( {\frac{n} {2} - 1} \right)\kappa l^2 \square R \] $$

Интересно, что для $n=4$ получается линейное относительно $R$ уравнение

$$R = \kappa l^2 \square R$$

Временно забудем о полных уравнениях и сосредоточимся на их скалярном следствии. Возьмем метрику в следующем виде

$$\[ ds^2 = f\left( r \right)dt^2 - \frac{{dr^2 }} {{f\left( r \right)}} - r^2 \left( {d\theta ^2 + \sin ^2 \theta \cdot d\varphi } \right) \] $$

тогда

$$\[ \left\{ \begin{gathered} R = f'' + \frac{2} {r}f' + \frac{2} {{r^2 }}\left( {f - 1} \right) \hfill \\ r^2 R = - \kappa l^2 \left( {r^2 fR'} \right)^\prime \hfill \\ \end{gathered} \right. \] $$

Будем считать $l$ малым параметром задачи. Тогда уравнения относятся к классу сингулярно возмущенных и их решение следует искать в виде следующего ряда

$$\[ f\left( r \right) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\left[ {f_i \left( r \right) + F_i \left( {\frac{r} {l}} \right)} \right]} l^i \] $$

Подставляя и собирая получим изрядно много символов, первые из коих (при $l^{ - 2} $) гласят

$$\[ F_0 ^{\prime \prime } = - \kappa \left[ {f_0 F_0^{IV} + \left( {F_0 F_0 ^{\prime \prime \prime } } \right)^\prime } \right] \] $$

С физической точки зрения интересны только погранслойные решения. То есть, такие, для которых при $l \to 0$ область влияния на решение членов при $l^2$ сжимается в нуль. Можно поэтому заменить функцию $f_0 $ в уравнении её предельным значением при $r \to 0$.

Итак, всё свелось к нахождению неособенных на интервале $\left[ {0;\infty } \right)$, стремящихся к нулю при $x \to \infty$ решений уравнения

$$\[ \pm u'' = Cu^{IV} + \left( {uu'''} \right)^\prime \] $$

($C$ - некоторая константа)

Ежели таковые найдутся, можно будет двигаться дальше.

[Утундрий]

Групповой анализ не радует: кроме тривиального сдвига $x$ других непрерывных симметрий нет. Значит, численно...