Самосогласованный стационарный неточечный заряд в ОТО

[kely]

Помогите пожалуйста разобраться с вопросом.
Можно ли построить модель покоящегося неточечного заряда, в котором роль "резинок" Пуанкаре будет играть его собственное гравитационное поле?

Интересует сначала более простой статический случай невращающегося заряда со сферической симметрией.
У меня получается (из книжек) записать, проследить решение для электровакуумной части до горизонта событий.
Из него следует, что до горизонта событий гравитация не может уравновесить силу Кулона. И остается предположение, что заряд сосредоточен под горизонтом событий.

А там мне непонятно, как записать условие статичности(неподвижности) бесконечно малого элемента плотности заряда.
Также не очень ясно как должна быть связана плотность и масса покоя бесконечно малого элемента заряда.

[Munin]

Есть решение Райсснера-Нордстрёма. Оно до некоторой величины заряда чёрная дыра, а потом - голый заряд. В этот момент гравитация с электрическим полем пребывают в равновесии.

Хокинг, Эллис "Крупномасштабная структура пространства-времени" как справочник решений.

[kely]

Munin в сообщении #604863 писал(а):

Есть решение Райсснера-Нордстрёма. Оно до некоторой величины заряда чёрная дыра, а потом - голый заряд. В этот момент гравитация с электрическим полем пребывают в равновесии.

Решение Райсснера-Нордстрёма - оно для точечного заряда.
А интересует для неточечного.

[Munin]

Я просто подсказываю, что может быть разное соотношение между гравитацией и электричеством: и одно сильнее, и другое. Вам что нужно?

[kely]

Мне нужно чтобы каждый элемент неточечного заряда находился в равновесии.
Т.е. напряженность электрического поля компенсировалась гравитацией (искривлением метрики).

m\Gamma^a_b_cu^bu^c=eF^a^bu_b$

[Munin]

Ну и разместите такой элемент на конечном радиусе в решении Райсснера-Нордстрёма. Что получается?

[kely]

До горизонта событий равновесия нет.

А как работать с тензором энергии-импульса (в какой метрике) под горизонтом событий я не понимаю.
Во-первых, кроме электромагнитного поля еще есть тензор материи заряда, который непонятно каким брать.

[Munin]

kely в сообщении #604942 писал(а):

До горизонта событий равновесия нет.

В каком смысле?

[epros]

kely в сообщении #604923 писал(а):

Решение Райсснера-Нордстрёма - оно для точечного заряда.
А интересует для неточечного.

Где-то раньше я об этом писал:
1) Берёте сверхпредельное решение Райсснера-Нордстрёма (без горизонтов, "голая сингулярность").
2) У решения есть некий радиус минимального грав. потенциала - это точка, ниже которой незаряженная частица (пылинка) не упадёт. Обрезаете решение ровно по сфере этого радиуса.
3) Берёте точно такое же решение, но для противоположного знака заряда (и так же обрезанное по сфере классического радиуса). Сшиваете два эти решения по сферам обреза.
4) Считаете (по формуле Эйнштейна) тензор энергии импульса на сфере, по которой сшиты решения.

То, что Вы получите в итоге, будет:
А) Статическим решением.
Б) Везде над сферой сшивки будем иметь чистое поле сферически симметричного заряда (т.е. никакой материи, кроме поля, нет).
В) Никаких сингулярностей и никакого точечного заряда нигде нет: пройдя сквозь сферу сшивки, мы попадаем в "симметричное пространство".
Г) На самом деле, никакого заряда вообще нигде нет, даже на сфере сшивки: Весь поток поля, который входит с одной стороны, выходит с другой стороны (в "симметричное пространство").
Д) Можно убедиться (посчитав ТЭИ), что материя на сфере сшивки - это просто неподвижная пыль, собравшаяся в точке минимума грав. потенциала. Если быть точным, то наличие давления в этой материи лишь слегка меняет решение: Область перехода между нашим и "симметричным" пространствами становится не сферой, а шаровым слоем некой ненулевой толщины.

Вот такая модель сферически симметричного заряда, в которой заряда-то как такового нигде и нет...

[Munin]

epros в сообщении #605511 писал(а):

У решения есть некий радиус минимального грав. потенциала - это точка, ниже которой незаряженная частица (пылинка) не упадёт.

Покажете?

[epros]

Munin в сообщении #605521 писал(а):

epros в сообщении #605511 писал(а):

У решения есть некий радиус минимального грав. потенциала - это точка, ниже которой незаряженная частица (пылинка) не упадёт.

Покажете?

Канэчна. Смотрим на формулу решения Райсснера-Нордстрёма, находим минимум нулевой компоненты метрики, т.е. коэффициента перед $dt^2$. Убеждаемся, что он находится в точке $r = \frac{2r^2_Q}{r_s}$. Убеждаемся, что для сверхпредельной дыры, т.е. для такой, что $r_s < 2r_Q$, нулевая компонента метрики в этой точке имеет правильный знак (тот же, что и на бесконечности).

Итак, в отличие от допредельной и предельной дыр, у сверхпредельной дыры $g_{0 0}$ в минимуме не достигает нуля (соответственно, и горизонтов нет). И этот минимум находится не в центре, а на радиусе $r = \frac{2r^2_Q}{r_s}$.

[epros]

Для kely дополнительно приведу пояснения по его вопросам:

kely в сообщении #604854 писал(а):

до горизонта событий гравитация не может уравновесить силу Кулона

kely в сообщении #604942 писал(а):

До горизонта событий равновесия нет

Равновесие над горизонтом событий возможно, хотя это не есть равновесие "между гравитацией и силами Кулона". Просто та заряженная материя, которая формирует решение, должна обладать внутренними давлениями. Вот это давление и может уравновесить гравитационное сжатие. Кулоновские силы отталкивания ему в этом отчасти помогают, но при $r_s > 2 r_Q$ - только отчасти. Решение для статической заряженной сферы легко построить, сшив допредельное решение Райсснера-Нордстрёма снаружи сферы с пространством Минковского внутри сферы. Но, повторяю, это возможно только при слабом заряде сравнительно с массой. В других случаях пришить изнутри пространство Минковского не удастся.

kely в сообщении #604854 писал(а):

там мне непонятно, как записать условие статичности(неподвижности) бесконечно малого элемента плотности заряда

kely в сообщении #604942 писал(а):

А как работать с тензором энергии-импульса (в какой метрике) под горизонтом событий я не понимаю

Под горизонтом событий никакая статичность невозможна в принципе, выбросьте эти идеи из головы. Либо Вы избавляетесь в своём решении от горизонтов, либо отказываетесь от статичности.

kely в сообщении #604854 писал(а):

Также не очень ясно как должна быть связана плотность и масса покоя бесконечно малого элемента заряда

kely в сообщении #604942 писал(а):

еще есть тензор материи заряда, который непонятно каким брать

У заряда нет никакого тензора энергии-импульса, ибо заряд - это просто дивергенция поля. Энергия-импульс есть у электромагнитного поля.

[Munin]

epros
Спасибо за минимум. Но почему ниже него частица не упадёт?

[epros]

Munin в сообщении #605765 писал(а):

Но почему ниже него частица не упадёт?

Ну, я не имею в виду, что с разгону не может туда пролететь. Просто ускорение свободного падения направлено туда, т.е. ближе к центру имеем антигравитацию. Это значит, что повиснув на этом радиусе, пылинка дальше уже самопроизвольно никуда падать не начнёт.

[Munin]

Два вопроса: какое ускорение будет испытывать пылинка, находящаяся ближе этого радиуса, и какую скорость на этом радиусе (или на бесконечности) должна иметь пылинка, чтобы по инерции добраться до центра?