как решить задачу по топологии?

[mathzero]

здравствуйте. нужно решить такую задачу. строим множество $A=Q \cup I$ так, что $\forall x \in Q$ и $\forall y \in I$ выполняется $x<y$. в самих подмножествах $Q$ и $I$ сохраняется порядок, как в подмножествах действительных чисел. вопрос: гомеоморфно ли множество $A$ множеству действительных чисел?

[Someone]

Я не понял условия. Множества $Q$ и $I$ - это что такое?
А вообще, посмотрите, сколько компонент связности в Вашем множестве. И сколько их в множестве действительных чисел.

[mathzero]

$Q$ - множество рациональных чисел, $I$ - множество иррациональных чисел. а как определить компоненты связности?

-- 17.08.2012, 11:19 --

Someone в сообщении #606957 писал(а):

Я не понял условия. Множества $Q$ и $I$ - это что такое?
А вообще, посмотрите, сколько компонент связности в Вашем множестве. И сколько их в множестве действительных чисел.

$Q$ и $I$ несвязные. с трудом, но понял. а как определить компоненты связности в множестве действительных чисел? я, так понимаю, надо топологию задать? если открытыми множествами считать все возможные интервалы, то множество действительных чисел односвязно?

[Someone]

Топологическое пространство $X$ называется несвязным, если существуют два открытых множества $U,V\subset X$, удовлетворяющие следующим условиям:
1) $U\neq\varnothing$, $V\neq\varnothing$;
2) $U\cap V=\varnothing$;
3) $X=U\cup V$.
Подмножество $A\subseteq X$ называется несвязным, если оно несвязно как подпространство. В терминах открытых множеств пространства $X$ это формулируется так: подмножество $A\subseteq X$ несвязно, если существуют два открытых множества $U,V\subset X$, удовлетворяющие условиям
1) $U\cap A\neq\varnothing$, $V\cap A\neq\varnothing$;
2) $U\cap V\cap A=\varnothing$;
3) $A\subseteq U\cup V$.
Соответственно, топологическое пространство или его подмножество называется связным, если оно не является несвязным, то есть, если множества $U$ и $V$ с указанными свойствами не существуют.
Компонентой связности точки $x_0\in X$ называется наибольшее связное подмножество пространства $X$, содержащее точку $x_0$. Она совпадает с объединением всех связных подмножеств пространства $X$, содержащих точку $x_0$.
На числовой прямой связными являются пустое множество и следующие множества (и только они):
1) интервалы $(a,b)$ (в том числе бесконечные);
2) полуинтервалы $[a,b)$ и $(a,b]$ (в том числе бесконечные);
3) отрезки $[a,b]$.
В частности, числовая прямая связна, а множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел - нет.

mathzero в сообщении #606961 писал(а):

множество действительных чисел односвязно?

Множество действительных чисел односвязно, но односвязность - это совершенно другое свойство, нежели связность. Пока его не трогайте.

[mathzero]

спасибо. ещё один вопрос родился походу. в мат. литературе есть такой способ образования отношений, называют "отношение, заданное естественным образом", например как разбиение на классы задаёт отношение эквивалентности. (это я не для справки, а чтобы предварительно обозначить свой вопрос). в данной задаче заданные множество $A$ и множество действительных чисел $R$ равны, если не принимать во внимание отношения порядка, разными способом заданные на этих множествах. можно ли тогда сказать, что заданное на множестве $A$ отношение порядка определяет топологию, я имею в виду, что на $A$ невозможно задать такую же топологию, как и на $R$? и наоборот, можно ли задав топологию на множестве, ввести какие-то отношения между элементами этого множества? и сделать это так, чтобы не опираться на наглядные понятия, например расстояния?

[Someone]

mathzero в сообщении #607034 писал(а):

я имею в виду, что на $A$ невозможно задать такую же топологию, как и на $R$?

Задать можно, но она не будет согласована с тем отношением порядка, которое Вы описали в первом сообщении. Если множество $A$ линейно упорядочено, то порядковая топология на нём задаётся условием, чтобы это была наименьшая топология, в которой все интервалы $(-\infty,a)=\{x\in A:x<a\}$ и $(a,+\infty)=\{x\in A:x>a\}$, $a\in A$, были открыты. Это означает, что множество указанных интервалов является предбазой топологии, то есть, всевозможные пересечения конечных наборов таких интервалов образуют базу топологии. Фактически, кроме указанных бесконечных интервалов, в эту базу входят интервалы вида $(a,b)=\{x\in A:a<x<b\}$ для всевозможных $a,b\in A$.

Вы можете решать задачу прямо по определению: Вам всего лишь нужно указать пару подходящих открытых множеств $U,V\subset A$.

[mathzero]

множество $A$ линейно упорядочено, но что в этом случае понимать за бесконечность? ведь любое иррациональное число "больше" любого рационального.

-- 20.08.2012, 09:39 --

Someone в сообщении #607056 писал(а):

Вы можете решать задачу прямо по определению: Вам всего лишь нужно указать пару подходящих открытых множеств $U,V\subset A$.

у меня, видимо, глубокое непонимание топологических методов вообще ). вот я рассуждаю примерно так.
за открытые подмножества множества $A$ можно взять $Q$ и $I$. то есть задать топологию $\tau={a,\oslash,Q,I}$. теперь нужно найти топологию на $R$, гомеоморфную $\tau$. вопрос: можно ли на $R$ задать такую топологию? судя по тому, что $A$ и $R$ равны (если не принимать во внимание разные отношения порядка), то установив взаимнооднозначное соответствие $f: A \mapsto R$, можно в $R$ открытыми множествами считать прообразы $Q$ и $I$. так как топология задаётся для характеристики близости элементов множества, а в $R$ эта близость характеризуется расстоянием, то как новая топология будет согласовываться с метрической? в этом смысле интересно, поменяет введённая топология отношения между элементами $R$ или нет?

[Someone]

А $+\infty$ и $-\infty$ - это некие "условные" элементы, такие, что для всех $x\in A$ выполняются неравенства $-\infty<x<+\infty$. Нужны только для записи интервалов $(-\infty,a)$ и $(a,+\infty)$, $a\in A$.

[mathzero]

пусть $-\infty$ - элемент, меньший любого рационального, а $+\infty$ - элемент, больший любого иррационального. на $A$ открытые множества всевозможные интервалы $(-\infty; a)$ и $(a; +\infty)$. хотелось бы установить соответствие между интервалами $(-\infty; x)$ и $(x; +\infty)$ из $R$. но если $a\in Q$, то интервалы $(-\infty; a)$ счётные, а $(-\infty; x)$ несчётные. не пойму :(

[Someone]

mathzero в сообщении #607968 писал(а):

хотелось бы установить соответствие между интервалами $(-\infty; x)$ и $(x; +\infty)$ из $R$. но если $a\in Q$, то интервалы $(-\infty; a)$ счётные, а $(-\infty; x)$ несчётные. не пойму :(

Ну и думайте. Тут до завершения доказательства буквально пара слов осталась. Соответствия между интервалами не должно быть, поскольку отношение порядка на $A$ и на $\mathbb R$ разное. Вам надо доказать, что эти пространства не гомеоморфны. Значит, надо найти какое-нибудь топологически инвариантное свойство, которым эти пространства отличаются. Одно из них - связность. Вы сейчас нащупали другое. Сформулируйте отличие явным образом, и всё будет ясно.

[mathzero]

Someone в сообщении #607974 писал(а):

Соответствия между интервалами не должно быть, поскольку отношение порядка на $A$ и на $\mathbb R$ разное.

Соответствия между интервалами не должно быть из-за того, что из разных отношений порядка следуют, что мощности интервалов различны, или есть другое, более общее условие?

-- 20.08.2012, 10:36 --

а отношение порядка - это топологический инвариант? (я же говорю, что не понимаю, не чувствую эти вещи)

-- 20.08.2012, 10:45 --

можно ещё один вопрос задать общего характера? когда мы говорим об множествах интуиция нам выводит на первый план либо дискретное, либо плотное, либо непрерывное множество. существуют ли множества, отличные от этих трёх (ну и их объединений)?

[Someone]

mathzero в сообщении #607979 писал(а):

когда мы говорим об множествах интуиция нам выводит на первый план либо дискретное, либо плотное, либо непрерывное множество. существуют ли множества, отличные от этих трёх (ну и их объединений)?

Мне непонятно, что Вы подразумеваете под "плотными" и "непрерывными".

mathzero в сообщении #607979 писал(а):

Соответствия между интервалами не должно быть из-за того, что из разных отношений порядка следуют, что мощности интервалов различны, или есть другое, более общее условие?

Из того, что отношения порядка разные, само по себе ничего не следует. Возьмите интервал в одном пространстве. Если пространства гомеоморфны, то соответствующее множество в другом пространстве тоже открыто, хотя, может быть, интервалом не является. Каковы мощности интервалов в одном и в другом пространстве? Каковы мощности открытых множеств в одном и в другом пространстве?

mathzero в сообщении #607979 писал(а):

а отношение порядка - это топологический инвариант?

Нет. Гомеоморфные пространства могут определяться различными отношениями порядка.

mathzero в сообщении #607979 писал(а):

я же говорю, что не понимаю, не чувствую эти вещи

Надо повозиться с этим, задачки порешать. Постепенно привыкнете и поймёте.

[mathzero]

Someone в сообщении #608058 писал(а):

Мне непонятно, что Вы подразумеваете под "плотными" и "непрерывными".

непрерывное множество - континуум. плотное, например, множество рациональных чисел.

[Someone]

Термин "континуум" используется в нескольких разных смыслах. Во-первых, как название мощности множества действительных чисел. Во-вторых, в общей топологии этот термин может означать связный компакт или бикомпакт. Вы что имеете в виду?

Сочетание слов "плотное" и "множество" встречается в терминах "всюду плотное множество" и "плотное в себе пространство".
Множество $A\subseteq X$ называется всюду плотным в топологическом пространстве $X$, если каждое непустое открытое подмножество пространства $X$ содержит хотя бы одну точку множества $A$ (эквивалентно: каждая окрестность любой точки пространства $X$ содержит хотя бы одну точку множества $A$).
Топологическое пространство $X$ называется плотным в себе, если оно не имеет изолированных точек. Соответственно, подмножество топологического пространства называется плотным в себе, если это подмножество содержится в множестве своих предельных точек.

Определение непрерывного множества можно найти в Википедии.

[mathzero]

Someone в сообщении #608312 писал(а):

Определение непрерывного множества можно найти в Википедии

понятием непрерывности для линейно упорядоченного множества я вроде владею. и в терминах сечений, и в терминах окрестностей. но при переходе к неупорядоченным множествам всё как-то туманно. открытые множества, оказывается, не обязательно окрестности в смысле метрической топологии. я пытаюсь уяснить понятие непрерывности в общем случае множеств, как условие того, что пересечение любой последовательности вложенных подмножеств имеет непустое пересечение. но эти подмножества должны быть открытыми. какой тогда критерий открытости?