Про импликацию

[Иван_85]

Хочу прояснить для себя один момент. В учебнике "Лекции по математическому анализу", Архипов, Садовничий, Чубариков в определении бесконечно малой последовательности написано:
"Коротко это определение записывается так:
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)$ такое , что $\forall n>n_0 \Rightarrow \left |x_n\right |< \varepsilon.$"
Правомерно ли тут используется импликация, а то я что-то не могу уловить ее смысла тут?
Получается, что высказывание, стоящее перед знаком импликации не имеет самостоятельного смысла. Такое может быть ?

[ewert]

Иван_85 в сообщении #608082 писал(а):

Правомерно ли тут используется импликация,

Неправомерно.

Кстати, "$=n_0(\varepsilon)$" -- тоже избыточно, но хотя бы осмысленно.

[Mathusic]

ewert в сообщении #608083 писал(а):

Неправомерно.

В матане главное -- идея
Такая-то запись конечно корява. Но меня камнями закидали, когда я тоже самое записал, но без квантора всеобщности перед $n$.

[Иван_85]

ewert, то есть правильно будет так?
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n>n_0 \left |x_n\right |< \varepsilon.$ Меня интересует строго формальная запись.

[ewert]

Mathusic в сообщении #608086 писал(а):

Но меня камнями закидали, когда я тоже самое записал, но без квантора всеобщности перед $n$.

Без квантора -- вполне нормально. Ровно как и без импликации. А вот когда и то, и другое вместе -- получается бред.

[Padawan]

$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n (n>n_0\Rightarrow \left |x_n\right |< \varepsilon).$

[ewert]

Иван_85 в сообщении #608087 писал(а):

ewert, то есть правильно будет так?
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n>n_0 \left |x_n\right |< \varepsilon.$ Меня интересует строго формальная запись.

Я, мягко говоря, не специалист в матлогике; для меня все эти значки -- лишь удобный язык. Поэтому я всегда их снабжаю дополнительно другими значками -- для пущей внятности, хотя формально это не обязательно. Т.е. так:

$(\forall \varepsilon >0)\;\; \exists n_0:\;\;(\forall n>n_0)\;\; \left |x_n\right |< \varepsilon.$

Или, что эквивалентно:

$(\forall \varepsilon >0)\;\; \exists n_0:\;\; n>n_0\;\Rightarrow\; \left |x_n\right |< \varepsilon.$

Добавка "$=n_0(\varepsilon)$" -- это тавтология: зависимость от эпсилона подразумевается всем остальным; но для пущей экспрессивности так часто пишут, это не такой уж большой грех.

[Иван_85]

Padawan, то есть запись $\forall n>n_0\;\; \left| x_n\right|<\varepsilon$ используется как сокращение записи $\forall n \left(n>n_0 \Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right)?$

[ewert]

Иван_85 в сообщении #608098 писал(а):

Padawan, то есть запись $\forall n>n_0\;\; \left| x_n\right|<\varepsilon$ используется как сокращение записи $\forall n \left(n>n_0 \Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right)?$

По-моему, последнее выражение тоже формально бессмысленно (хотя и выглядит не столь абсурдно, как в цитировавшемся Вами определении). Дело в том, что там в скобках стоит некоторое утверждение, для которого $n$ является "внутренней переменной". За пределами утверждения эта переменная не видна, потому и никакие кванторы к ней не приложимы.

[Padawan]

ewert в сообщении #608108 писал(а):

Дело в том, что там в скобках стоит некоторое утверждение, для которого $n$ является "внутренней переменной". За пределами утверждения эта переменная не видна, потому и никакие кванторы к ней не приложимы.

Ничего не понял.

[Иван_85]

Вот что написано в Зориче:
"Условимся также о следующих широко используемых сокращениях:
$(\forall x \in X) P:= \forall x (x\in X \Rightarrow P(x)),$
$(\exists x\in X) P:=\exists x (x\in X \wedge P(x)),$
$(\forall x>a) P:= \forall x(x\in \mathbb{R}\wedge x>a \Rightarrow P(x)),$
$(\exists x>a) P:=\exists x (x\in \mathbb{R}\wedge x>a \wedge P(x))$."
Я бы убрал в последних двух сокращениях $x\in \mathbb{R}$, так как часто приходится использовать, например, запись $(\forall n>0) P$ для натурального $n.$ Представим, что $x\in \mathbb{R}$ в этих сокращениях нет.
Определение бесконечно малой последовательности в сокращенном виде (и поэтому часто оно не всем понятно): $\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0\;\; \forall n>n_0\;\; \left|x_n\right|<\varepsilon$.
С учетом данных сокращений данное определение в максимально подробном виде запишется так: $\forall \varepsilon \left(\varepsilon>0 \Rightarrow\left(\exists n_0\left(\forall n\left( n>n_0\Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right) \right) \right) \right),$ где $\varepsilon \in \mathbb{R},$ и $n, n_0\in \mathbb{N}.$
Вроде так.

[Профессор Снэйп]

$$ (\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon) $$

Пишите так и никаких проблем не будет. А то, как у Вас написано - издевательство над математической символикой. Импликация вообще бредово выглядит, она должна стоять между двумя утверждениями, а $\forall n > n_0$ - не утверждение.

[Иван_85]

Профессор Снэйп, $n>n_0$ - утверждение. (без квантора всеобщности)

[_hum_]

Профессор Снэйп в сообщении #608231 писал(а):

$$ (\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon) $$

Пишите так и никаких проблем не будет.

Вроде будут (без доп. оговорок) - квантор общности в общем случае ж не предполагает использование условий под ним.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #608231 писал(а):

$$ (\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon) $$

Пишите так и никаких проблем не будет.

Или так:

$$ (\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n )(n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon) $$

Но тогда уж, выдерживая стиль, надо писАть

$$ \forall \varepsilon(\varepsilon > 0\Rightarrow \exists n_0\forall n(n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon)) $$

Есть негласная договорённость об опускании квантора всеобщности. В таком случае последня формула будет выглядеть так:

$$ \varepsilon > 0\Rightarrow \exists n_0 (n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon) $$