2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:24 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Хочу прояснить для себя один момент. В учебнике "Лекции по математическому анализу", Архипов, Садовничий, Чубариков в определении бесконечно малой последовательности написано:
"Коротко это определение записывается так:
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)$ такое , что $\forall n>n_0 \Rightarrow \left |x_n\right |< \varepsilon.$"
Правомерно ли тут используется импликация, а то я что-то не могу уловить ее смысла тут?
Получается, что высказывание, стоящее перед знаком импликации не имеет самостоятельного смысла. Такое может быть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Иван_85 в сообщении #608082 писал(а):
Правомерно ли тут используется импликация,

Неправомерно.

Кстати, "$=n_0(\varepsilon)$" -- тоже избыточно, но хотя бы осмысленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:30 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
ewert в сообщении #608083 писал(а):
Неправомерно.

В матане главное -- идея :lol:
Такая-то запись конечно корява. Но меня камнями закидали, когда я тоже самое записал, но без квантора всеобщности перед $n$. :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:31 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
ewert, то есть правильно будет так?
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n>n_0 \left |x_n\right |< \varepsilon.$ Меня интересует строго формальная запись.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:32 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mathusic в сообщении #608086 писал(а):
Но меня камнями закидали, когда я тоже самое записал, но без квантора всеобщности перед $n$. :evil:

Без квантора -- вполне нормально. Ровно как и без импликации. А вот когда и то, и другое вместе -- получается бред.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:34 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n (n>n_0\Rightarrow \left |x_n\right |< \varepsilon).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Иван_85 в сообщении #608087 писал(а):
ewert, то есть правильно будет так?
$\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0=n_0(\varepsilon)\;\;\forall n>n_0 \left |x_n\right |< \varepsilon.$ Меня интересует строго формальная запись.

Я, мягко говоря, не специалист в матлогике; для меня все эти значки -- лишь удобный язык. Поэтому я всегда их снабжаю дополнительно другими значками -- для пущей внятности, хотя формально это не обязательно. Т.е. так:

$(\forall \varepsilon >0)\;\; \exists n_0:\;\;(\forall n>n_0)\;\; \left |x_n\right |< \varepsilon.$

Или, что эквивалентно:

$(\forall \varepsilon >0)\;\; \exists n_0:\;\; n>n_0\;\Rightarrow\; \left |x_n\right |< \varepsilon.$

Добавка "$=n_0(\varepsilon)$" -- это тавтология: зависимость от эпсилона подразумевается всем остальным; но для пущей экспрессивности так часто пишут, это не такой уж большой грех.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 14:44 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Padawan, то есть запись $\forall n>n_0\;\; \left| x_n\right|<\varepsilon$ используется как сокращение записи $\forall n \left(n>n_0 \Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right)?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 15:01 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Иван_85 в сообщении #608098 писал(а):
Padawan, то есть запись $\forall n>n_0\;\; \left| x_n\right|<\varepsilon$ используется как сокращение записи $\forall n \left(n>n_0 \Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right)?$

По-моему, последнее выражение тоже формально бессмысленно (хотя и выглядит не столь абсурдно, как в цитировавшемся Вами определении). Дело в том, что там в скобках стоит некоторое утверждение, для которого $n$ является "внутренней переменной". За пределами утверждения эта переменная не видна, потому и никакие кванторы к ней не приложимы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 15:16 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
ewert в сообщении #608108 писал(а):
Дело в том, что там в скобках стоит некоторое утверждение, для которого $n$ является "внутренней переменной". За пределами утверждения эта переменная не видна, потому и никакие кванторы к ней не приложимы.

Ничего не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 16:05 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Вот что написано в Зориче:
"Условимся также о следующих широко используемых сокращениях:
$(\forall x \in X) P:= \forall x (x\in X \Rightarrow P(x)),$
$(\exists x\in X) P:=\exists x (x\in X \wedge P(x)),$
$(\forall x>a) P:= \forall x(x\in \mathbb{R}\wedge x>a \Rightarrow P(x)),$
$(\exists x>a) P:=\exists x (x\in \mathbb{R}\wedge x>a \wedge P(x))$."
Я бы убрал в последних двух сокращениях $x\in \mathbb{R}$, так как часто приходится использовать, например, запись $(\forall n>0) P$ для натурального $n.$ Представим, что $x\in \mathbb{R}$ в этих сокращениях нет.
Определение бесконечно малой последовательности в сокращенном виде (и поэтому часто оно не всем понятно): $\forall \varepsilon >0\;\; \exists n_0\;\; \forall n>n_0\;\; \left|x_n\right|<\varepsilon$.
С учетом данных сокращений данное определение в максимально подробном виде запишется так: $\forall \varepsilon \left(\varepsilon>0 \Rightarrow\left(\exists n_0\left(\forall n\left( n>n_0\Rightarrow \left|x_n\right|<\varepsilon\right) \right) \right) \right),$ где $\varepsilon \in \mathbb{R},$ и $n, n_0\in \mathbb{N}.$
Вроде так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 18:55 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
$$
(\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon)
$$
Пишите так и никаких проблем не будет. А то, как у Вас написано - издевательство над математической символикой. Импликация вообще бредово выглядит, она должна стоять между двумя утверждениями, а $\forall n > n_0$ - не утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 19:00 
Заморожен


10/11/08
303
Челябинск
Профессор Снэйп, $n>n_0$ - утверждение. (без квантора всеобщности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение20.08.2012, 19:26 


23/12/07
1763
Профессор Снэйп в сообщении #608231 писал(а):
$$
(\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon)
$$
Пишите так и никаких проблем не будет.

Вроде будут (без доп. оговорок) - квантор общности в общем случае ж не предполагает использование условий под ним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про импликацию
Сообщение21.08.2012, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #608231 писал(а):
$$
(\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n > n_0)(| x_n | < \varepsilon)
$$
Пишите так и никаких проблем не будет.

Или так:
$$
(\forall \varepsilon > 0)\exists n_0(\forall n )(n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon)
$$
Но тогда уж, выдерживая стиль, надо писАть
$$
\forall \varepsilon(\varepsilon > 0\Rightarrow \exists n_0\forall n(n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon))
$$
Есть негласная договорённость об опускании квантора всеобщности. В таком случае последня формула будет выглядеть так:
$$
\varepsilon > 0\Rightarrow \exists n_0 (n > n_0 \Rightarrow | x_n | < \varepsilon)
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group