Интеграл с квадратом косинуса

[Cobert]

Помогите, пожалуйста, решить вот такой интеграл.

$\int \frac{dx}{7-3cos^2{x}}$

Сделал замену на $tg{\frac{x}{2}}$, получился многочлен 4 степени в числителе и 2 степени в знаменатель. Начал делать подстановку, чтобы убрать лишние степени, вылезла иррациональная переменная в знаменателе. Стал разбираться с многочленами и дальше пошел какой-то цикл. Не выходит кароче.

[RIP]

Сделайте замену $t=\tg x$.

[bot]

Замена $t=\tg\frac{x}{2}$ универсальна для интегралов такого вида и иррациональность здесь может появиться лишь вследствии ошибки.
В случае когда рациональное выражение от синуса и косинусов не меняется при одновременной смене знака у синуса и косинуса (что в данном случае и есть) проще заменить так, как сказал RIP.

[Cobert]

Спасибо вам. Пример оказался до смехоты прост. Если б этот метод мне подсказали раньше, я бы сэкономил кучу времени =( Итак:

$ \int \frac{dx}{7-3\cos^2{x}} R(x_1)=\frac{1}{7-3x_1^2} R(\cos{x})=\frac{1}{7-3\cos^2{x}} \tg{x}=t \cos^2{x}=\frac{1}{1+t^2} $dx= \frac {dt}{1+t^2}$ \int \frac{dt}{(7-\frac{3}{1+t^2})(1+t^2)}=$ $\int \frac{dt}{(\frac{7+7t^2-3}{1+t^2})(1+t^2)}=$ $\int \frac{dt}{7t^2+4}=$ $ \frac{1}{7} \int \frac{dt}{t^2+\frac{4}{7}}=$ $ \frac{1}{7}(\frac{\sqrt{7}}{2}\arctg{\frac{t}{(\frac{2}{\sqrt{7}})})+C= \frac{\sqrt{7}}{14}\arctg{(\frac{t\sqrt{7}}{2})}+C=$ $\frac{\sqrt{7}}{14}\arctg{(\frac{\sqrt{7}\tg{x}}{2})}+C $

Длинные формулы (особенно строчки формул) лучше разбивать, например, на знаках равенства, сравнения. // нг

[bot]

Cobert писал(а):

Пример оказался до смехоты прост.

В таких случаях поступают ещё проще:

$\int \frac {dx}{7-3\cos^2 x} = \int \frac {\frac{dx}{\cos^2 x}}{\frac{7}{\cos^2 x}-3} = $

=$\int \frac {dtgx}{7(1+tg^2 x)-3}=\int \frac {dt}{7t^2+4}$