2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл с квадратом косинуса
Сообщение08.04.2007, 16:25 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста, решить вот такой интеграл.

$\int \frac{dx}{7-3cos^2{x}}$

Сделал замену на $tg{\frac{x}{2}}$, получился многочлен 4 степени в числителе и 2 степени в знаменатель. Начал делать подстановку, чтобы убрать лишние степени, вылезла иррациональная переменная в знаменателе. Стал разбираться с многочленами и дальше пошел какой-то цикл. Не выходит кароче.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2007, 16:34 
Аватара пользователя
Сделайте замену $t=\tg x$.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2007, 17:09 
Аватара пользователя
Замена $t=\tg\frac{x}{2}$ универсальна для интегралов такого вида и иррациональность здесь может появиться лишь вследствии ошибки.
В случае когда рациональное выражение от синуса и косинусов не меняется при одновременной смене знака у синуса и косинуса (что в данном случае и есть) проще заменить так, как сказал RIP.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2007, 18:15 
Аватара пользователя
Спасибо вам. Пример оказался до смехоты прост. Если б этот метод мне подсказали раньше, я бы сэкономил кучу времени =( Итак:

$
\int \frac{dx}{7-3\cos^2{x}}

R(x_1)=\frac{1}{7-3x_1^2}

R(\cos{x})=\frac{1}{7-3\cos^2{x}}

\tg{x}=t

\cos^2{x}=\frac{1}{1+t^2}

$dx= \frac {dt}{1+t^2}$

\int \frac{dt}{(7-\frac{3}{1+t^2})(1+t^2)}=$ $\int \frac{dt}{(\frac{7+7t^2-3}{1+t^2})(1+t^2)}=$ $\int \frac{dt}{7t^2+4}=$ $
\frac{1}{7} \int \frac{dt}{t^2+\frac{4}{7}}=$ $
\frac{1}{7}(\frac{\sqrt{7}}{2}\arctg{\frac{t}{(\frac{2}{\sqrt{7}})})+C=
\frac{\sqrt{7}}{14}\arctg{(\frac{t\sqrt{7}}{2})}+C=$ $\frac{\sqrt{7}}{14}\arctg{(\frac{\sqrt{7}\tg{x}}{2})}+C
$

Длинные формулы (особенно строчки формул) лучше разбивать, например, на знаках равенства, сравнения. // нг

 
 
 
 
Сообщение10.04.2007, 12:42 
Аватара пользователя
Cobert писал(а):
Пример оказался до смехоты прост.

В таких случаях поступают ещё проще:

$\int \frac {dx}{7-3\cos^2 x} = \int \frac {\frac{dx}{\cos^2 x}}{\frac{7}{\cos^2 x}-3} = $

=$\int \frac {dtgx}{7(1+tg^2 x)-3}=\int \frac {dt}{7t^2+4}$

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group