Зачем кардинальное число для числа элементов?

[valtih1978]

Вопрос навеян теоремой Лагранжа о взаимоотношении порядков групп. В качестве числа элементов принято использовать то что придумал Кантор. Однако у Кантора бесконечности эквивалентны и это постоянно создаёт проблемы, когда мы начинаем сравнивать число элементов. В каждом правиле приходится оговариваться что оно действует только для конечного числа элементов. Например число чётных на отрезке вдове меньше целых, только если отрезок конечен. Это же не рационально!

Счётчик элементов, учитывающий такую разницу вроде даже есть, мерой называется. Но меры как-то не очень популярны.

[ewert]

valtih1978 в сообщении #607425 писал(а):

Счётчик элементов, учитывающий такую разницу вроде даже есть, мерой называется.

Мера -- это счётчик ни разу не элементов.

[valtih1978]

ewert в сообщении #607447 писал(а):

valtih1978 в сообщении #607425 писал(а):

Счётчик элементов, учитывающий такую разницу вроде даже есть, мерой называется.

Мера -- это счётчик ни разу не элементов.

Так вопрос как раз почему? Почему кардинальность лучше меры и ординальности для числа элементов? Вторые вроде лучшее разрешение имеют на бесконечности? В теорвере именно меры помогают суммировать бесконечные числа событий.

[ewert]

valtih1978 в сообщении #607450 писал(а):

В теорвере именно меры помогают суммировать бесконечные числа событий.

Событий, но отнюдь не элементарных исходов; последние там никто даже и не пытается складывать.

[valtih1978]

ewert в сообщении #607452 писал(а):

valtih1978 в сообщении #607450 писал(а):

В теорвере именно меры помогают суммировать бесконечные числа событий.

Событий, но отнюдь не элементарных исходов; последние там никто даже и не пытается складывать.

В теорвере меры придумали как раз чтобы можно было сказать что на [0,2] вдвое больше элементарных событий чем на [0,1]. Равномощность в данном случае как и во всех остальных толку не даёт.

Подавлять снобизмом вас на конференциях научили или педагогическая школа?

[mihailm]

valtih1978 в сообщении #607470 писал(а):

...
В теорвере меры придумали как раз чтобы можно было сказать что на [0,2] вдвое больше элементарных событий чем на [0,1]. Равномощность в данном случае как и во всех остальных толку не даёт...

Почему вы пишите о том в чем похоже не разбираетесь?
С чего это на [0,2] вдвое больше элементарных событий чем на [0,1]???
А если распределение нормальное?

Какой толк то нужен кстати?

[valtih1978]

Есть такой принцип (не помню как называется): если мы не занаем какое распределение, подразумеваем равномерное.

Толк не знаю - оптимизация. Очередной раз требование конечности теореме услышал и решил спросить почему нельзя подразумевать сравнимые бесконечности, чтобы действие теорем естественным образом на них распространялось и оговорок каждый раз делать не приходилось.

[ewert]

valtih1978 в сообщении #607500 писал(а):

Есть такой принцип (не помню как называется): если мы не занаем какое распределение, подразумеваем равномерное.

Нет такого принципа, совсем нет. Скорее уж есть в некотором смысле противоположный: не знаем -- предполагаем нормальное (для этого хоть какие-то разумные аргументы имеются).

valtih1978 в сообщении #607500 писал(а):

Толк не знаю - оптимизация.

Оптимизация всегда подразумевает какой-то критерий, вне явно и чётко сформулированного критерия она бессмысленна. И соображения мощности тут заведомо бесполезны: они лишь сопоставляют элементы друг другу, но никак не учитывают "вес" этих элементов (что бы под весом ни понималось).

[valtih1978]

ewert в сообщении #607563 писал(а):

valtih1978 в сообщении #607500 писал(а):

Есть такой принцип (не помню как называется): если мы не занаем какое распределение, подразумеваем равномерное.

Нет такого принципа, совсем нет. Скорее уж есть в некотором смысле противоположный: не знаем -- предполагаем нормальное (для этого хоть какие-то разумные аргументы имеются).

valtih1978 в сообщении #607500 писал(а):

Толк не знаю - оптимизация.

Оптимизация всегда подразумевает какой-то критерий, вне явно и чётко сформулированного критерия она бессмысленна. И соображения мощности тут заведомо бесполезны: они лишь сопоставляют элементы друг другу, но никак не учитывают "вес" этих элементов (что бы под весом ни понималось).

> Нет такого принципа, совсем нет

А это что?
http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_indifference

Зачем демагагию разводить, если критерии я называл и несколько раз повторил. Для отравления?

[xmaister]

valtih1978, я, например, совсем не понял о чем Вы пишите.

valtih1978 в сообщении #607425 писал(а):

Счётчик элементов, учитывающий такую разницу вроде даже есть, мерой называется

Что называется мерой? У этого понятие есть вполне строгое определение.

valtih1978 в сообщении #607450 писал(а):

Почему кардинальность лучше меры и ординальности для числа элементов?

Вопрос, ИМХО, совершенно бессмысленный. Сформулируйте определение кардинального числа.

valtih1978 в сообщении #607470 писал(а):

В теорвере меры придумали как раз чтобы можно было сказать что на [0,2] вдвое больше элементарных событий чем на [0,1].

Как нас учили, тервер - всё таки математика, а математика без аксиом- не математика. Если вспомните определение вероятностного пространства, то ясно будет, для чего там "меры".

[valtih1978]

> Что называется мерой? У этого понятие есть вполне строгое определение. Если вспомните определение вероятностного пространства, то ясно будет, для чего там "меры".

Я нестрогое беру. Для конечных пространств мы можем подсчитать благоприятные элементарные исходы. Для бесконечно-больших возникает проблема, но делить благоприятные на общее число возможных исходов по-прежнему нужно и канторова мощность множества тут не годится. Так я понял что мощность по-кантору - хреновая метрика. Порядковые и меры привожу просто как примеры более точных метрик мощности. Я понимаю что мера не очень подходит как замена кардинального числа так как различает только непрерывные множества, то есть ей что μ{a}, что μ{a,b} - без разницы (нуль даст).

Measure (mathematics): обобщает понятие длинны. Например мера [0,1] равна 1.

>> Почему кардинальность лучше меры и ординальности для числа элементов?

> Вопрос, ИМХО, совершенно бессмысленный. Сформулируйте определение кардинального числа.

Два множества равномощны когда между ними можно установить биекцию. Можем установить между целыми и чётными, значит их мощность равна (одному и тому же числу). То есть кардинальные это - натуральные плюс алефы. Алефов слишком мало, их недостаточно чтобы теоремы сформулированные для конечных множеств работали и на бесконечностях.

-- Вс авг 19, 2012 23:35:41 --

Я тут рыскал что такое мера и похоже Хаусдорфова как раз то что нужно - и отдельные элементы умеет считать и непрерывные области. Хотя нет, счётные бесконечности сравнивать не умеет.

[Munin]

valtih1978 в сообщении #607850 писал(а):

Я понимаю что мера не очень подходит как замена кардинального числа так как различает только непрерывные множества, то есть ей что μ{a}, что μ{a,b} - без разницы (нуль даст).

Это неверно, бывают такие меры, что $\mu(\{a\})=1$ и $\mu(\{a,b\})=2.$

-- 20.08.2012 01:48:54 --

valtih1978 в сообщении #607850 писал(а):

Алефов слишком мало, их недостаточно чтобы теоремы сформулированные для конечных множеств работали и на бесконечностях.

А может, так и надо? Может, теоремы не работают на бесконечностях, просто потому, что они несправедливы для бесконечностей? Вы не задумывались о такой возможности?

[valtih1978]

> А может, так и надо? Может, теоремы не работают на бесконечностях, просто потому, что они несправедливы для бесконечностей? Вы не задумывались о такой возможности?

Конечно. Как только узнал что чётных столько же склько целых - сразу подумал что это несправедливо, что плохое у нас определение мощности, неудовлетворительное.

[Munin]

Я не о том, я ровно о противоположном. Может, определение мощности хорошее, это считать, что чётных должно быть не столько же - несправедливо?

[valtih1978]

справедливо то что непротиворечиво и не требует больше условий чем необходимо. То что чётных меньше только на конечном отрезке противоречит интуиции и достигается лишними оговорками. Тут математики которые это придумали оправдываться должны.