Немного несложных задач

[iknow]

Всем доброго времени суток! Я вернулся:-) вполне возможно,что похожие задачи вы уже встречали
Надеюсь, они вам понравятся!
Задача 1. Дан многочлен с целыми коэффицентами $x^3+ax^2+3x+c$. Паша и Саша изменяют коэффиценты либо $a$ ,либо $c$: Паша на 2 или 4, Саша - на 3. Паша выигрывает, если многочлен имеет хотя бы один целый корень. Верно ли, что Паша всегда может выиграть, независимо от игры Саши?
Задача 2. В племени Акидавра 35 букв, причем среди них 17 гласных и 18 согласных. Вождь этого племени приказал придумать своему сыну, Вуджаве, все возможные слова , состоящие из 7 букв. Сколько существует таких слов, если буквы в слове могут повторяться, и никакие 2 гласные не идут друг за другом? А если буквы не могут повторяться?
Задача 3. Дан  $\triangle ABC$, в котором выполняется соотношение  $\angle ABC= \angle CAB+\frac{1}{2}\angle ACB$. Проведена окружность, которая касается описанной около  $\triangle ABC$ окружности в точке $C$, а стороны $AB$ - в точке $D$. Эта окружность пересекает $AC$ в точке $K$. $CD$ продолжили до пересечения с описанной окружностью  $\triangle ABC$. Точку пересечения обозначили $M$. Доказать, что $MDKA$ - вписанный четырехугольник.

[xmaister]

iknow в сообщении #607377 писал(а):

Задача 1. Дан многочлен с целыми коэффицентами $x^3+ax^2+3x+c$. Паша и Саша изменяют коэффиценты либо $a$ ,либо $c$: Паша на 2 или 4, Саша - на 3. Паша выигрывает, если многочлен имеет хотя бы один целый корень. Верно ли, что Паша всегда может выиграть, независимо от игры Саши?

(Оффтоп)

Вбейте в вольфрам 4 различных варианта кубического уравнения и посмотрите, че там с корнями?

[iknow]

xmaister
честно, не понял что Вы имеете ввиду...

[Tanechka]

1. Всегда (по крайней мере сумму коэффициентов равную нулю он точно устроит)
2. 18.495.517.320
А вот втором вопросе две гласные по-прежнему рядом не стоят?
3. Белиберда!!!

[iknow]

Tanechka
2. Нет, не стоят
3-е условие что-то не получается нормально написать. как получится, так напишу сюда.
з.ы. были бы интересны Ваши рассуждения, если нетрудно

[Shadow]

Tanechka в сообщении #607399 писал(а):

2. 18.495.517.320

Как же так? Слова только из согласных (ничего себе словечко)
$N_{70}=1\cdot 18^7$
Одна гласная 6 согласных $N_{61}=7\cdot 17\cdot 18^6$. И дальше
$\\N_{52}=15\cdot 17^2\cdot 18^5\\ N_{43}=7\cdot 17^3 \cdot 18^4\\ N_{34}=1\cdot 17^4\cdot 18^3$
Все это сложить. Если буквы не могут повторятся, все эти $a^n$ нужно заменить на $a(a-1)(a-2)\cdots$

[iknow]

Tanechka
специально для Вас!
Задача 3. Дан $\triangle ABC$, в котором выполняется соотношение: $ \angle ABC=\angle CAB + \frac{1}{2}\angle ACB$. Проведена окружность, которая касается описанной около $ \triangle ABC$ окружности в точке $C$, а стороны $AB$ - в точке $D$. Эта окружность пересекает $AC$ в точке $K$. $CD$ продолжили до пересечения с описанной окружностью $\triangle ABC$. Точку пересечения обозначили $M$. Доказать, что $MDKA$ - вписанный четырехугольник.

[Mathusic]

Задача1 не сформулирована вообще говоря.

[iknow]

Mathusic
Что Вам не понравилось?

[Mathusic]

iknow в сообщении #607711 писал(а):

Mathusic
Что Вам не понравилось?

Кто ходит первым? Когда заканчивается игра? Когда выигрывает Саша?
Это вообще говоря, при додумывании, что у нас вообще есть некая игра и ходят соперники по очереди.
Не люблю вот таких недоформулированных условий.

[iknow]

Mathusic
Насчет того, кто первый, это неважно, на самом деле... потому что $a$ и $c$ могут быть произвольными целыми, и очередность хода не должна создавать, так сказать, погоду для игроков....
ну заканчивается тогда, когда Паша победит
будем считать их роботами такими, которые могут играть бесконечно, без устали. задача Саши - не дать выиграть Паше. и суть в том, чтобы объяснить сможет он это сделать или нет..
Простите, наверно, мне так и надо было ставить вопрос...
Спасибо за поправку....

[Tanechka]

iknow, а какой ответ во второй задаче верный? У нас то с Shadow разные...

[iknow]

Tanechka
мне были бы интересны сами рассуждения Ваши,хотя бы вкратце... но в решении у Shadow я ошибки не нашел...

P.S. как Вам геометрия?

[Tanechka]

У меня реккурентная зависимость (можно кстати вывести и сразу сумму, но я подумала, что так понятнее):
$n(i+1)=(o(i)+n(i))\cdot18$
$o(i+1)=n(i)\cdot17$
где n(i) - кол-во i-буквенных слов, удовлетворяющих условию и оканчивающуюсю на согласную
o(i) - кол-во i-буквенных слов, удовлетворяющих условию и оканчивающуюсю на гласную.
Потом в Excel посчитала $o(7)+n(7)$
Решение Shadow я просто не поняла, вот и спросила ответ.

-- 21.08.2012, 18:27 --

До геометрии руки не дошли, но уже скоро

[Shadow]

У Вас правильно. Я неправильно посчитал комбинации 4 согласных-3 гласных. Написал 7, а они 10. Пропустил
ГСССГСГ
ГСГСССГ
ГССГССГ
Просто расположил их в круг - тогда единственная валидная конфигурация когда 2 согласные рядом, остальное чередуется. Но в круг одно, а в ряд другое дело:)