Расширение пространства

[lucien]

Munin в сообщении #606343 писал(а):

epros в сообщении #606232 писал(а):

При этом расстояние между мухами, которые на нём сидят, тоже будет увеличиваться ускоренно. Хотя мухи разъезжаются "по инерции", т.е. сохраняют свою начальную - нулевую - скорость (относительно шарика).

Нет, в этом случае нельзя говорить "по инерции", поскольку дополнительные источники гравитации "подталкивают" "мух", точно так же, как они друг друга "тормозили".

Интересно, куда подталкивают "мух" дополнительные источники в однородной и изотропной вселенной?

[Munin]

lucien в сообщении #607029 писал(а):

Интересно, куда подталкивают "мух" дополнительные источники в однородной и изотропной вселенной?

Туда, чтобы они сохраняли однородность и изотропность.

[denis_73]

Munin в сообщении #606984 писал(а):

denis_73 в сообщении #606858 писал(а):

Но из-за горизонта можно, наверно, долететь на космическом корабле, но придётся на ускорение корабля потратить энергии больше, чем его масса, т. е. добывать топливо по пути. :)

Нет. Горизонт - светоподобная граница, то есть локально для его преодоления надо превысить скорость света. Вы путаете горизонт с простыми энергетическими ограничениями, речь не о них.

1. Почему надо превысить скорость света?
2. Гравитация может изменять скорость фотона $c$?
3. В статье http://ru.wikipedia.org/wiki/Общая_теория_относительности сказано: «Часто неправильно считают, что в основе общей теории относительности лежит принцип эквивалентности гравитационного и инерционного поля...». Если это неправильно, то что же на самом деле лежит в основе? Вили Википедия здесь врёт?

[Munin]

denis_73 в сообщении #607413 писал(а):

1. Почему надо превысить скорость света?

Потому что.
Горизонт.
Это светоподобная.
Граница.

Определение такое.

denis_73 в сообщении #607413 писал(а):

2. Гравитация может изменять скорость фотона $c$?

Локальную - нет, но из-за искривления пространства-времени движение света глобально, или при взгляде издалека, может выглядеть как не соответствующее скорости $c.$ Например, был поставлен опыт (знаменитый опыт Шапиро) по радиолокации Венеры. Когда луч радиолокатора (радиосигнал - это тот же свет) проходил рядом с диском Солнца, задержка возрастала - из-за того, что в окрестности Солнца время идёт медленнее. При взгляде со стороны получается впечатление, что свет идёт медленнее.

denis_73 в сообщении #607413 писал(а):

3. В статье http://ru.wikipedia.org/wiki/Общая_теория_относительности сказано: «Часто неправильно считают, что в основе общей теории относительности лежит принцип эквивалентности гравитационного и инерционного поля...».

В Викимусорке многое неправильно сказано. Её не надо читать вместо учебников. Такого идиотизма, который там встречается, иногда нарочно выдумать не удаётся.

Учебники по ОТО:
Мизнер, Торн, Уилер. Гравитация.
Ландау, Лифшиц. Теория поля.
Вайнберг. Гравитация и космология. (Напечатано, и в библиотечных каталогах часто значится как "Вейнберг".)
Если вы ещё не знаете СТО, то читайте её по Ландау-Лифшицу "Теория поля" (лучшее изложение).

denis_73 в сообщении #607413 писал(а):

Если это неправильно, то что же на самом деле лежит в основе?

В основе ОТО лежат несколько принципов, среди которых - сильный принцип эквивалентности. Без него ОТО не строилась у Эйнштейна, без него (или эквивалентного утверждения) невозможно её построить и сегодня. Подробнее см. в перечисленных учебниках.

[ИгорЪ]

Munin
Я извиняюсь за долгое отсутствие, возможно интерес к теме угас, но...
Хочется понять всёж таки точное значение термина "расширение пространства". Как вы утверждаете - это просто взаимное разбегание гравитационно несвязанных кусков и никакого реального "расширения пространства". Как же тогда быть с красным смещением, о чем пишут во всех гросбухах: фотон краснеет за счет взаимного движения удаления источника и приемника да плюс за счет расширения пространства?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #608936 писал(а):

Хочется понять всёж таки точное значение термина "расширение пространства". Как вы утверждаете - это просто взаимное разбегание гравитационно несвязанных кусков и никакого реального "расширения пространства".

Нет, я так не утверждаю.

Пожалуй, я процитирую свои объяснения с другого форума, если вы не против.

1. Модель без глобальной кривизны, и без глобальной гравитации.

Munin на ModCos.com в сообщении #p550 писал(а):

Для понятности на вашем уровне я пренебрегу на космологическом масштабе гравитацией и искривлением пространства-времени вообще (это сильно отличается от задачи, которую den представил и обсуждал с нами с начала темы, но годится для ответа на ваш вопрос). Тогда что такое будет Большой Взрыв? Мы снова можем нарисовать график пространства-времени, и на нём из некоторой точки для момента времени $t=0$ - пучок расходящихся линий. Это как движутся галактики. Но начнём приближаться к этой картине, рассматривать её в микроскоп, и зададимся вопросом, как будут расположены линии, отображающие движение звёзд в галактике (или планет вокруг звезды, или частиц в атоме). Очевидно, они тоже "хотели бы" разлетаться, но с другой стороны, они же друг к другу притягиваются! То, что они "хотели бы" разлетаться, может быть воплощено только в их начальных условиях: под каким углом эти линии начинают идти вперёд по времени. А дальше силы притяжения приводят систему в равновесие, и устанавливается движение с постоянным расстоянием между составными частями. Электроны летают вокруг протонов в атомах, планеты вокруг звёзд, звёзды - вокруг центра галактики - и все они делают это стабильно несмотря на начальные условия.


[Точнее, даже так: атомы и планеты, да и галактики, образовались уже позже взрыва, и их составные части не испытывали начального импульса взрыва непосредственно, а уже истратили его на тот момент, когда связались в эти системы - именно это и позволило им связаться в эти системы.]


И всё! Больше ничего нет в этом "расширении пространства", кроме расходящихся на графике линий. Планету никто не тащит прочь от звезды, и тем более никто не тащит электрон от протона. Их запустили в начальный момент в разных направлениях, чтобы они удалялись, но они потом решили связаться, и больше некому этому препятствовать.

Про фотоны я объяснять не буду, это отдельная тема, скажу только, что в той упрощённой картине, которую я вам обрисовал, космологическое красное смещение может быть полностью понято как доплеровское.



2. Добавляем глобальную кривизну, модель Фридмана-Леметра.

Munin на ModCos.com в сообщении #p557 писал(а):

avp писал(а):

Из Вашего объяснения получается что расширение пространства - это лишь начальные условия.


Нет, это верно только в условиях того упрощения, которое я оговорил: никакой кривизны и гравитации на космологическом уровне (это даже не ньютоновская космология, а нечто ещё более простое, для популярного объяснения, и в целом некорректно без оговорок).

Хорошо, я думал, этим и ограничится, но давайте поговорим про ОТО. ОТО можно представить себе как состоящую из двух частей: описание воздействия гравитационного поля на пробные частицы (и поля и вообще законы физики), и описание того, чем гравитационное поле вызывается и как возникает. Именно в первой части вводится, что такое пространство-время ОТО, и эту часть надо достаточно хорошо понимать, чтобы правильно воспринимать фразу "пространство расширяется".

<...>

Что такое "пространство расширяется" в таком случае на языке ОТО? Это указание, что некоторая часть пространства-времени по форме похожа на конус. Но ведь конус не имеет собственной кривизны, его можно развернуть на плоскость, что соответствует выбору другой системы координат, и в таком случае у нас никакого "расширения" уже не будет. Таким образом, само по себе указание на то, что "пространство расширяется" не имеет инвариантного физического содержания - это только взгляд на пространство-время (некоторая система координат), причём только на какую-то его часть. Инвариантное физическое содержание появляется, когда мы говорим, что всё пространство-время имеет вид "пространство расширяется" для любого момента времени, и при том скорость расширения - величина переменная. Это геометрически означает, что вся псевдориманова поверхность может быть склеена из конических поясков, то есть является "поверхностью вращения". Это уже инвариантный геометрический факт. В учебниках он упоминается как наличие в метрике набора космологических симметрий: инвариантность пространства-времени относительно пространственных сдвигов и поворотов (например, ЛЛ-2 §§ 111, 112, или Вайнберг гл. 14 § 1).

Но не забывайте, что это геометрическое строение пространства-времени можно по-разному представлять себе в виде координат, а на самой проверхности нет ничего, чтобы заставляло двигаться то, что на ней находится, как-то определённо, а не иначе: геодезические можно по-прежнему проводить в разные стороны под разными углами. Метрика может быть тоже записана в разных координатах, и только в одной системе координат она имеет вид $ds^2=dt^2-a(t)^2d\mathbf{r}^2\equiv dt^2-a(t)^2(dr^2+S_k(r)^2d\Omega^2),$ в других координатах она выглядит иначе, без явно выраженных симметрий, и может не содержать множителя типа $a(t)^2$ при дифференциалах координат, играющих роль пространственных. Например, в малой окрестности заданной точки пространства-времени она всегда может быть приведена к виду метрики Минковского. Поэтому не надо думать, что всё, что вмещено в пространство, должно следовать линиям координат, которые мы провели только для нашего удобства. Чего оно должно - так это следовать геодезической линии, а это позволяет идти в разных пространственно-временных направлениях, начиная движение с разной начальной скоростью. В том числе, на конусе можно нарисовать линии, которые на его развёртке идут параллельно, и хотя они пойдут не по образующим конуса, локально между собой они не будут замечать, что движутся по какой-то конической поверхности, а будут считать, что находятся на постоянном расстоянии между собой на плоскости.




Munin на ModCos.com в сообщении #p583 писал(а):

Если я буду ориентироваться на вас, den, мне придётся некоторые вещи говорить более строго, и вынужденно - менее образно. Пока по первой части замечание: то утверждение, что мы можем развернуть конус или конический поясок на плоскость, верно только для двумерного многообразия, а для четырёхмерного в общем случае - нет (конус или поясок может иметь ненулевую пространственную кривизну). Но зато верно аналогичное (для наших целей) утверждение: мы можем выбирать системы координат так, чтобы символы Кристоффеля $\Gamma^{i}_{0j}=\Gamma^{i}_{j0}$ ($i,j\ne 0,$) принимали любые желаемые нам значения, в том числе и нулевые. Именно ненулевые значения этих коэффициентов в сопутствующих координатах Робертсона-Уокера ответственны за то, что пробная частица, движущаяся с ненулевой начальной скоростью в этих координатах (то есть, не по образующей конуса), испытывает ускорение. Как видите, этот эффект можно устранить (подобно тому, как можно устранить ускорение свободного падения, перейдя в свободно падающую систему координат).

Итак, вторая часть ОТО (по нашему условному делению) посвящена тому, как материя, содержащаяся в пространстве-времени, определяет конкретную форму этого пространства-времени. Применительно к нашей ситуации - отвечает на вопрос, а почему, собственно, пространство-время Вселенной собрано из конических поясков.

Я напомню, что ОТО - это полевая теория. Она рассматривает гравитацию как полевое взаимодействие: притягивающие тела взаимодействуют с полем, изменяют его, и это поле в свою очередь воздействует на притягиваемые тела так, что они чувствуют притяжение. Центральным уравнением в ОТО является уравнение Эйнштейна, и оно аналогично уравнениям поля в других теориях, например, уравнениям Максвелла: слева стоит поле, а справа - создающие его заряды. Поскольку нас не волнуют волны, мы можем уподобить его даже уравнению Пуассона. Поставим их рядом:
$R_{\mu\nu}-\tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R=8\pi T_{\mu\nu}$
$\Delta\varphi=-4\pi\rho$
Обозначение $R_{\mu\nu}$ принято в ОТО, но оно несколько затемняет смысл: это на самом деле некоторая формула со вторыми производными, взятая от аргумента $g_{\mu\nu}.$ Чтобы показать это более явно, я запишу уравнение Эйнштейна неформально так:
$[\mathrm{Ricci}-\tfrac{1}{2}\mathrm{Scalar}]g_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}$
Теперь "гравитационный потенциал" $g_{\mu\nu}$ и действующий на него оператор второго порядка разнесены и видны явно. Параллель с уравнением Пуассона очевидна. Чтобы понять, как возникает гравитационное поле, надо понять, чему отвечает левая часть, и что является источником поля - правой частью.

Но с другой стороны, ОТО - геометрическая теория. У левой части уравнения Эйнштейна есть геометрический смысл - она характеризует кривизну пространства-времени. Если мы рассмотрим, как ведёт себя в уравнении Пуассона $\varphi$ в области $\rho>0,$ то мы увидим, что он образует поверхность, "выпуклую вверх". Точно так же и в уравнении Эйнштейна области пространства-времени, заполненные притягивающей материей $\varepsilon=T_{00}>0,$ получаются "выпуклыми" - с нужным знаком, чтобы геодезические сходились друг к дружке. Взглянем на поверхность сферы: на ней меридианы - геодезические - стремятся друг к другу, причём это стремление характера "ускорения" - расстояние между соседними меридианами есть квадратическая функция. А с другой стороны, сфера - это поверхность вращения, она состоит из конических поясков - это нам и нужно!

Итого, посмотрим, что получается. Фраза "пространство расширяется", если ей придавать инвариантный геометрический смысл, указывает, что форма пространства-времени "выпуклая", а также почему она "выпуклая" - потому что она заполнена притягивающей материей. Теперь мы можем проанализировать, как это повлияет на динамику некоторой системы. Мы задаём начальное состояние движения тел нашей системы некоторыми линиями с начальными направлениями. И дальше можем смотреть, как эти линии себя поведут (вообще говоря, они не будут геодезическими, в силу взаимодействия между телами системы, но можно рассмотреть геодезические, чтобы увидеть, что будет без учёта этого взаимодействия). Они будут действительно сходиться между собой - поскольку нарисованы на какой-то "выпуклой" поверхности. Но эта "выпуклость" имеет ясную причину: в промежутке между этими линиями всё ещё есть та самая притягивающая материя, заполняющая Вселенную.

Теперь ещё раз взглянем на уравнение Пуассона. Мы знаем, что заряды тел состоят из отдельных электронов, но мы представляем их как некоторую гладко размазанную функцию плотности заряда $\rho$ - потому что мы знаем, что заряды можно усреднять на некоторых масштабах, и это не отразится на интегральных величинах поля, хотя его детальная картина изменится. Например, взяв $\oint\operatorname{grad}\varphi\,dS$ по некоторому большому контуру, мы получим одно и то же до и после усреднения. Заметьте, что от зарядов вне контура этот интеграл не зависит. Точно так же получается и в теории тяготения: некоторая масса на больших расстояниях создаёт одно и те же притяжение, независимо от того, собрана она в точечные центры или размазана равномерно. Именно поэтому можно сопоставить с реальной Вселенной метрику Фридмана - хотя она получена в предположении абсолютно равномерного распределения массы в пространстве, а в реальной Вселенной масса собрана в точечные галактики, разделённые пустым пространством. Но это усреднение влияет на то, как будет устроена "выпуклость" пространства-времени, когда мы перейдём к малым масштабам. Итак, представим себе, что у нас масса не равномерно заполняет пространство, а собрана в шары некоторой положительной плотности, между которыми массы нет. Тогда и левая часть уравнения, $[\mathrm{Ricci}-\tfrac{1}{2}\mathrm{Scalar}]g_{\mu\nu},$ будет внутри этих шаров положительной, а в промежутке - нулевой. Это называется риччи-выпуклым и риччи-плоским пространством. В риччи-выпуклом пространстве геодезические по-прежнему сходятся, как мы это уже рассматривали. В риччи-плоском пространстве геодезические ведут себя разнообразнее: некоторые сходятся, а некоторые расходятся. Это можно понять по аналогии с ньютоновской гравитацией: в области, в которой плотность массы равна нулю, продолжают действовать приливные силы, которые в одних направлениях сжимают, а в других - растягивают. Таким образом, когда мы переходим к рассмотрению малых масштабов, на которых усреднение массы несправедливо, космологическая картина равномерно расширяющегося пространства переходит в картину отдельных (разлетающихся!) массивных тел, и такого пространства-времени внутри и между ними, которое соответствует обычным эффектам гравитации, вызванным их массами.

Вот теперь мы готовы рассмотреть "расширение пространства" на всех масштабах - от надгалактического, до галактик, до отдельных звёзд в галактиках, и наконец, до отдельных атомов на планетах или в межзвёздном газе. В гравитационно связанной системе - галактике или звезде - пространство-время будет "выпуклым", как и во Вселенной, но не "расширяющимся". "Выпуклость" пространства-времени будет обусловлена массой этой системы. Делить его на конические пояски бессмысленно - размеры такой системы постоянны, а не увеличиваются или уменьшаются вместе со Вселенной, и обусловлены равновесием внутренних сил (включая гравитацию). В системе, связанной негравитационными силами - пространство-время вообще будет "невыпуклым", риччи-плоским, и его воздействие на тела системы будет попросту гравитационным воздействием внешних масс - типа приливного. Например, атом в лаборатории испытывает приливные силы со стороны Земли, и из-за этого слегка сжат и вытянут, как и Луна. Какую величину имеет эта деформация - можно оценить по обычным ньютоновским оценкам. Понятно, что атом из-за этого воздействия тоже ни расширяется, ни сжимается, ни деформируется, а просто остаётся в постоянно деформированном состоянии, в равновесии со своими внутренними силами.

Возвращаясь к самому-самому началу темы, вспомним, что Вселенная заполнена тремя гравитирующими компонентами: тёмной энергией, тёмной материей и обычной материей. Из них последние два ведут себя так, как я излагал, а тёмная энергия - приводит к "выпуклости" обратного знака, то есть на космологических масштабах - к расходящимся, а не сходящимся геодезическим, как меридианы на горлышке кувшина, а не на сфере. Но хотя на космологическом масштабе тёмная энергия преобладает, при переходе к меньшим масштабам она "выключается" первой. Неоднородное распределение тёмной и обычной материи выглядит как шары положительной плотности массы (галактики и скопления в сумме с тёмными гало), погружённые в пространство с отрицательной плотностью массы. Только эта отрицательная плотность - очень мала, и сравнительно может считать нулём. Дальше уменьшая масштаб, мы увидим, что внутри нашего шара положительной плотности выделяются более мелкие объекты положительной плотности - погружённые в пространство с положительной плотностью, но снова очень малой. Это "выключается" тёмная материя, и роль притягивающих масс полностью переходит к обычной материи - таков масштаб звёзд, планет, звёздных скоплений. Урок, который мы можем отсюда извлечь, состоит в том, что "выпуклость" или "невыпуклость" пространства-времени в нашей системе может быть не точно равной нулю, но оставаться, во-первых, пренебрежимо малой, а во-вторых, неизвестной, поскольку мы не знаем детальной структуры тёмной материи и тёмной энергии на таких малых масштабах. И в-третьих, влияние этой "выпуклости" всё равно будет аналогично влиянию ньютоновской гравитации со стороны тёмной материи и тёмной энергии в объёме нашей системы, а не будет каким-то загадочным "влиянием расширения Вселенной". Внешняя Вселенная ни на что не влияет - точнее, находящиеся поблизости массы влияют своими приливными силами, и только.

ИгорЪ в сообщении #608936 писал(а):

Как же тогда быть с красным смещением, о чем пишут во всех гросбухах: фотон краснеет за счет взаимного движения удаления источника и приемника да плюс за счет расширения пространства?

Должно быть ясно, что это на самом деле не плюс, а одно и то же явление, только рассмотренное в разных системах координат: в одной системе координат источник и приёмник взаимно движутся, и фотон краснеет по-доплеровски, а в другой "пространство расширяется", и фотон за счёт этого краснеет по дороге. Сравните, как можно смотреть на конус или конический поясок: либо как на поверхность вращения, "расширяющуюся" в направлении вдоль оси, либо, расправив его по плоскости в развёртку, как на плоскую поверхность, на котором бывшие образующие конуса стали непараллельными линиями. Перенос вектора по геодезической с одной образующей на другую даст один и тот же угол поворота, но "по разным причинам".

Не считая пекулярных движений источника и приёмника (относительно местного для них фона) - это действительно идёт в плюс к основному космологическому эффекту.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #608988 писал(а):

Должно быть ясно, что это на самом деле не плюс, а одно и то же явление, только рассмотренное в разных системах координат: в одной системе координат источник и приёмник взаимно движутся, и фотон краснеет по-доплеровски, а в другой "пространство расширяется", и фотон за счёт этого краснеет по дороге. Сравните, как можно смотреть на конус или конический поясок: либо как на поверхность вращения, "расширяющуюся" в направлении вдоль оси, либо, расправив его по плоскости в развёртку, как на плоскую поверхность, на котором бывшие образующие конуса стали непараллельными линиями. Перенос вектора по геодезической с одной образующей на другую даст один и тот же угол поворота, но "по разным причинам".

Может и должно, но не ясно. В какой нибудь приличной книге написано, что это одно и тоже?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #609931 писал(а):

Может и должно, но не ясно. В какой нибудь приличной книге написано, что это одно и тоже?

[челюсть по полу]
Прямо так явно - не могу припомнить. Это же мелкий частный вопрос, уровня студенческого упражнения. Могу порекомендовать любой учебник по ОТО. Там обычно есть глава про космологические модели, в том числе Фридмана (часто его одного). Как перейти к другим координатам для Фридмана, можно для стандартных для космологии систем координат прочитать здесь: http://www.astronet.ru/db/msg/1194831 . Интересуют координаты $(t,D)$ и $(t,\chi)$ по обозначениям этой статьи (обозначения не общепринятые). Дальше всё просто: источник движется так, что $\chi=\mathrm{const},$ имеет частоту $\omega,$ и излучает свет с волновым ковариантным вектором $k_\mu=(\omega,k,0,0),$ где $k$ вычисляется из светоподобности в точке излучения. Потом этот вектор переносите по светоподобной геодезической в точку приёма, по связности, вычисленной в выбранных координатах. В точке приёма это будет какой-то $k'_\mu=(\omega',k',0,0),$ и измеренное красное смещение будет $1+z=\omega/\omega'.$ Вы обнаружите (если правильно всё посчитаете):
1. что вычисленные результаты от системы координат, в которой вы работали, не зависят;
2. что в координатах с собственным расстоянием $(t,D)$ результат будет выражаться через скорость источника $dD/dt$ (и скорость приёмника, если она не нулевая), а за счёт переноса по геодезической не будет никакого вклада;
3. что в координатах с сопутствующим расстоянием $(t,\chi)$ результат будет целиком связан с переносом по геодезической (что неудивительно, поскольку скорость источника $d\chi/dt=0$);
4. что независимо от координат, результат совпадёт с космологическим красным смещением, вычисленным для положения источника (и приёмника, если оно не нулевое).
Готовы проделать такое упражнение?

[denis_73]

Берём вот такую функцию $V$ от скорости $v$: $V(v)=c \operatorname{Arth} \frac v c$, где $c$ - скорость света. Назовём $V$, например, "быстротой". У меня получилась вот такая простая формула для релятивистского эффекта Доплера: $1+z=e^{\frac V c}$
Быстрота интересна тем, что она "аддитивна", в том смысле, что в отличие от формулы сложения скоростей СТО, можно использовать обычное сложение быстрот для объектов, движущихся по одной прямой, даже если они очень быстро движутся: если галактика B удаляется относительно галактики A с быстротой $V_1$, а галактика C удаляется в том же направлении относительно галактики B с быстротой $V_2$, то галактика C удаляется относительно галактики A с быстротой $V_1+V_2$. При малых скоростях $v$: $V\approx v$. Быстрота света равна бесконечности.

Если пренебречь гравитацией и искривлением пространства-времени, но при этом действует закон Хаббла, какова будет зависимость космологического красного смещения от скорости убегания $V_{rec}$ галактики? Будет ли похожая формула?

[Munin]

denis_73 в сообщении #610296 писал(а):

Если пренебречь гравитацией и искривлением пространства-времени, но при этом действует закон Хаббла, какова будет зависимость космологического красного смещения

Не понял этого сочетания условий: что значит, пренебречь гравитацией и искривлением пространства-времени, но космологическое красное смещение есть. Какую модель вы рассматриваете?

[denis_73]

Munin в сообщении #610298 писал(а):

Не понял этого сочетания условий: что значит, пренебречь гравитацией и искривлением пространства-времени, но космологическое красное смещение есть. Какую модель вы рассматриваете?

Модель, в которой галактики разбегаются в соответствии с законом Хаббла. Вселенная расширяется. Космологическое красное смещение связано ведь с расширением Вселенной?
А пренебречь гравитацией и искривлением пространства-времени, наверно, в том смысле, какой предполагался в сообщениях выше.

[Munin]

Окей, давайте так. Я знаю набор космологических моделей. Назовём их условно так:

\begin{center}\begin{tabular}{|p{4cm}|p{4cm}|p{4cm}|} \hline \begin{center}Средняя плотность тяготеющей массы во~Вселенной\end{center} & \begin{center}Ньютоновская гравитация (см.~Нагирнер, Милн)\end{center} & \begin{center}Эйнштейновская гравитация~(ОТО)\end{center} \\ \hline \begin{center}$\Omega=0$ --- ничем не~сдержанный разлёт по~инерции\end{center} & \begin{center}``Н.0'' --- предельный случай {\it несвязанной системы,} аналогичный движению по~прямой\end{center} & \begin{center}``ФЛ.0'' --- предельный случай {\it открытой модели} Фридмана-Леметра\end{center} \\ \hline \begin{center}$0<\Omega<1$ --- вечно замедляющийся разлёт\end{center} & \begin{center}``Н.нс'' --- {\it несвязанная система,} аналогичная движению спутника по~гиперболе\end{center} & \begin{center}``ФЛ.о'' --- {\it открытая модель} Фридмана-Леметра\end{center} \\ \hline \begin{center}$\Omega=1$ --- пограничный случай критической плотности\end{center} & \begin{center}``Н.кр'' --- пограничный случай, аналогичный движению спутника по~параболе\end{center} & \begin{center}``ФЛ.п'' --- {\it плоская модель} Фридмана-Леметра\end{center} \\ \hline \begin{center}$\Omega>1$ --- разлёт, сменяющийся сжатием\end{center} & \begin{center}``Н.с'' --- {\it связанная система,} аналогичная движению спутника по~эллипсу\end{center} & \begin{center}``ФЛ.з'' --- {\it замкнутая модель} Фридмана-Леметра\end{center} \\ \hline \end{tabular}\end{center}

(Здесь не все, допустимые на элементарном уровне, я опустил $\Lambda\ne 0.$)

Из них, "ФЛ.п" называется "плоской", поскольку имеет плоское 3-мерное пространство (в сопутствующих космологических координатах), но на самом деле неплоское пространство-время. С другой стороны, модель "ФЛ.0" (редко отдельно упоминаемая) имеет плоское пространство-время, и по сути эквивалентна (части) пространства-времени Минковского, но этот факт неявен в сопутствующих координатах. В этих координатах 3-мерное пространство неплоское, а имеет отрицательую кривизну, и геометрию Лобачевского.

Теперь, ваши требования:
1. Пренебречь гравитацией - выделяют, видимо, первую строку таблицы, $\Omega=0.$
2. Пренебречь искривлением пространства-времени - выделяют, видимо, первый столбец таблицы, ньютоновскую модель гравитации. Впрочем, не исключена и клетка "ФЛ.0".
3. Действует закон Хаббла - выполняется для всех перечисленных моделей. И для всех параметр Хаббла переменный по времени - постоянный он только для модели Де Ситтера.
4. Имеет место космологическое красное смещение - выполняется для всех перечисленных моделей. Оно отсутствует только для стационарных моделей, например, модели Эйнштейна (это не то же самое, что теория Эйнштейна, а просто одно частное решение в рамках этой теории).
5. Скорости подчиняются релятивистскому закону сложения. Это отбрасывает первый столбец таблицы, поскольку он рассматривается в нерелятивистском пространстве-времени.

Итого, я в недоумении.

А, можно считать, что вы про модель "ФЛ.0". Тогда да, очевидно, космологическое красное смещение будет зависеть от $V_{\mathrm{rec}}$ в точности по формуле Доплера. Что-то я туплю.