Различные уравнения и не только

[Mathusic]

DjD USB в сообщении #603760 писал(а):

Но как вы решали систему?Вот что мне интересно.

Вы линейные системы не умеете решать?

[DjD USB]

Mathusic в сообщении #603763 писал(а):

DjD USB в сообщении #603760 писал(а):

Но как вы решали систему?Вот что мне интересно.

Вы линейные системы не умеете решать?

В решении этой системы у меня возникают трудности(когда одна скобка равна 1 а другая $pq$)

[Mathusic]

DjD USB в сообщении #603766 писал(а):

В решении этой системы у меня возникают трудности(когда одна скобка равна 1 а другая $pq$)

Сложите оба уравнения - разложите на множители.

[DjD USB]

Mathusic в сообщении #603768 писал(а):

DjD USB в сообщении #603766 писал(а):

В решении этой системы у меня возникают трудности(когда одна скобка равна 1 а другая $pq$)

Сложите оба уравнения - разложите на множители.

Да,да,да уже понял

-- Вт авг 07, 2012 14:04:11 --

Задача №3 пункт б).Какие проблемы по задаче есть?

[Mathusic]

lim0n в сообщении #603737 писал(а):

1б. $p=2,q=3$

$p^3+q^3+1=p^2q^2\Leftrightarrow p^3+1=p^2q^2-q^3\Leftrightarrow (p+1)(p^2-p+1)=q^2(p^2-q)$
В правой части равенства три множителя, следовательно один из множителей левой части делится на $q$. Из этого следует, что простые числа $p$ и $q$ разной чётности...

Лучше последний вывод поясните.

[Shadow]

DjD USB в сообщении #603771 писал(а):

Задача №3 пункт б).Какие проблемы по задаче есть?

$3^y-1=2^x$При четных y будет разность квадратов, при нечетных $3^y \pmod 4$

[DjD USB]

Shadow в сообщении #603796 писал(а):

DjD USB в сообщении #603771 писал(а):

Задача №3 пункт б).Какие проблемы по задаче есть?

$3^y-1=2^x$При четных y будет разность квадратов, при нечетных $3^y \pmod 4$

Что при нечетных?

[Shadow]

Остатки $3^{2k+1}$ при делении на 4 (случай $x=1$ нужно рассмотреть отдельно)

[DjD USB]

Shadow в сообщении #603802 писал(а):

Остатки $3^{2k+1}$ при делении на 4 (случай $x=1$ нужно рассмотреть отдельно)

Ага
Ну теперь осталось самое хорошее3а) и 4.

[Cash]

4. Если $x$ и $y$ представимы в виде суммы двух квадратов, то из тождества
$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$
следует, что и $xy$ представим.
$5^a+5^b=5^a(5^{b-a}+1)$
Поскольку первый множитель разложим на сумму двух квадратов, достаточно рассмотреть второй множитель.
При $b-a=2k$ разложение тривиально
Если же $b-a=2k+1$, то невозможность разложения на сумму двух квадратов покажет рассмотрение остатков при делении на $8$

-- Вт авг 07, 2012 17:24:12 --

3a. В случаях $n=1$ и $z=1$ получаем тривиальные решения.
При $n \geq 9$ сумма в левой части делится на $9$ и не делится на $27$. Откуда $z=2$. Но при $n \geq 4$ левая часть оканчивается на $3$ и квадратом быть не может. Перебором при $n<9$ получаем единственное нетривиальное решение $n=3, y=3, z=2$.

[Батороев]

1) Из исходного можно получить уравнение:

$pq=(p+q)^2-r^2$

Из двух возможных разложений числа $pq$ на разность квадратов подходит только

$pq=\left(\dfrac{pq+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{pq-1}{2}\right)^2$

следовательно,

$2(p+q)=pq+1$

$pq-2p-2q+4=3$

$(p-2)(q-2)=3$

В виду того, что $3$ простое число, то одна из скобок равна $1$,

из чего в виду симметричности неизвестных $p;q$ получаем $p=3$

etc

[DjD USB]

Батороев в сообщении #603989 писал(а):

1) Из исходного можно получить уравнение:

$pq=(p+q)^2-r^2$

Из двух возможных разложений числа $pq$ на разность квадратов подходит только

$pq=\left(\dfrac{pq+1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{pq-1}{2}\right)^2$

следовательно,

$2(p+q)=pq+1$

$pq-2p-2q+4=3$

$(p-2)(q-2)=3$

В виду того, что $3$ простое число, то одна из скобок равна $1$,

из чего в виду симметричности неизвестных $p;q$ получаем $p=3$

etc

Если что задача уже была разобрана,но спасибо за решение

[ts0_9]

1б) Б.О.О $p>q$ $p^{3}+q^{3}+1=p^{2}q^{2} <=> (q+1)(q^{2}-q+1)=p^{2}(q^{2}-p)$
1) Если $q\ge 3$ , то $p\ge q+2$ . Тогда $q+1\le p-1<p $ =>$(q+1,p)=1$ и $q^{2}-q+1<q^{2}<p^{2}. $ Противоречие.
2)Если $q=2$ => $p^{3}+9=4p^{2} => (p-3)(p^{2}-p-3)=0 $ =>
либо $p=3$ либо $p^{2}-p-3=0 $-неверно при p-целом

[Mathusic]

ts0_9 в сообщении #607011 писал(а):

1б) Б.О.О $p>q$ $p^{3}+q^{3}+1=p^{2}q^{2} <=> (q+1)(q^{2}-q+1)=p^{2}(q^{2}-p)$
1) Если $q\ge 3$ , то $p\ge q+2$ . Тогда $q+1\le p-1<p $ =>$(q+1,p)=1$ и $q^{2}-q+1<q^{2}<p^{2}. $ Противоречие.

Конкретно в чём?

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #603706 писал(а):

$p^3+q^3+1=p^2q^2$

Это уравнение можно решить и в натуральных числах $p$, $q$.