Слабая эквивалентность функций (терминология и обозначения)

[Mandel]

1)Что такое слабо эквиваленты/
2)Что означает вообще порядок $\asymp$?.

[Someone]

Mandel писал(а):

1)Что такое слабо эквиваленты/
2)Что означает вообще порядок $\asymp$?.

А там, где Вы это встретили, определений нет?

[RIP]

Я встречал значок $\asymp$ в следующем контексте:
Для положительных функций $f(x)$ и $g(x)$ запись $f(x)\asymp g(x)$ означает, что $f(x)=O(g(x))$ и $g(x)=O(f(x))$, т.е. что $\ln\frac{f(x)}{g(x)}=O(1)$.

Добавлено спустя 1 час 38 секунд:

Например, такое обозначение употребляется в книге Hardy G.H. — Orders of infinity

[Someone]

RIP писал(а):

Для положительных функций $f(x)$ и $g(x)$ запись $f(x)\asymp g(x)$ означает, что $f(x)=O(g(x))$ и $g(x)=O(f(x))$, т.е. что $\ln\frac{f(x)}{g(x)}=O(1)$.

Это, стало быть, отношение эквивалентности, более слабое, чем обычное $f(x)\sim g(x)$, когда предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ равен $1$.
А почему там логарифм?

[RIP]

Someone писал(а):

А почему там логарифм?

Ограниченность логарифма равносильна ограниченности сверху и снизу положительными постоянными.

[Someone]

RIP писал(а):

Someone писал(а):

А почему там логарифм?

Ограниченность логарифма равносильна ограниченности сверху и снизу положительными постоянными.

Да, действительно. Я думал как раз об ограниченности отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ снизу и сверху положительными константами: $0<\alpha\leqslant\frac{f(x)}{g(x)}\leqslant\beta$, и так бы и сформулировал это условие. Без логарифма.