Вопрос про идеал

[Unconnected]

Непонятно.. Факторизуем $Z$ по идеалу $<27>$: <3>,<9>,<0> перейдут в такие же, с чертой, а куда остальные?

[AV_77]

Что остальные? Если $a$ - целоче число, взаимно простое с 27, то в $\mathbb{Z}_{27}$ идеал $(a)$ совпадает со всем кольцом $\mathbb{Z}_{27}$. Все числа вида $3m$, где $m$ не делится на 3, порождают в $\mathbb{Z}_{27}$ идеал $(3)$. Все числа вида $9m$, где $m$ не делится на 3, порождают в $\mathbb{Z}_{27}$ идеал $(9)$. Все числа, кратные 27, порождают нулевой идеал.

[Unconnected]

А.. иными словами, если взять класс $\overline{a}$, где а взаимно просто с 27, то если умножать его на какое-нибудь тоже взаимно простое с p число несколько раз, то на каком-то шаге обязательно получится 1 (в док-ве теоремы Ферма ($x^{p-1} \equiv 1 \pmod p$) примерно так же, только там p простое).

[muzeum]

Определение простоты идеала оригинально, но если называть такие "простые" идеалы не простыми, а первичными, то все станет на место.
Напомню, что кольцо $A$ называется первичным, если для любых двух идеалов $C$ и $D$ из того, что $CD=0$ следует $C=0$ или $D=0$.
Таким образом, автор курса назвал "простыми" такие идеалы, факторы по которым в обычной терминологии первичны.
Для коммутативных колец с единицей это не важно, но что, если кто-то захочет изучать некоммутативные кольца после такого курса?

[AV_77]

muzeum в сообщении #606325 писал(а):

Таким образом, автор курса назвал "простыми" такие идеалы, факторы по которым в обычной терминологии первичны.

Вообще-то это стандартная терминология, например,
1) ван дер Варден, Алгебра;
2) Ленг, Алгебра
3) Курош, Лекции по общей алгебре.
4) Винберг, Курс алгебры.

[apriv]

muzeum в сообщении #606325 писал(а):

Таким образом, автор курса назвал "простыми" такие идеалы, факторы по которым в обычной терминологии первичны.
Для коммутативных колец с единицей это не важно, но что, если кто-то захочет изучать некоммутативные кольца после такого курса?

По-моему, автор курса назвал простым такой идеал, который везде называют простым — фактор по которому является областью целостности.

[muzeum]

Цитата:

AV_77
Вообще-то это стандартная терминология, например,
1) ван дер Варден, Алгебра;
2) Ленг, Алгебра
3) Курош, Лекции по общей алгебре.
4) Винберг, Курс алгебры.

Цитата:

Apriv
По-моему, автор курса назвал простым такой идеал, который везде называют простым — фактор по которому является областью целостности.

Это шутки или накладки? Приведу цитату топикстартера с первой страницы этой темы:

Цитата:

:shock: какого-такого кольца элементы!!!
http://s57.radikal.ru/i157/1202/36/84d597db66fa.jpg
Или тут опечатка? На страницу ранее вводилось произведение идеалов.

Ну в общем-то, учитывая другое определение просто идеала, это тоже верное: произведение идеалов это суммы произведений, где, получается, один элемент должен принадлежать произведению.. следовательно, один множитель-идеал тоже принадлежит.

Определение, данное здесь, в русскоязычной литературе обычно относится к первичным идеалам. В коммутативном случае это то же, что и простой идеал, фактор по которому есть область целостности.
В англоязычной литературе используется один термин (обычно) - prime.
Автор лекций дал определение для случая коммутативных колец, но использовал термин, который традиционно для некоммутативных колец имеет другой смысл. И текст топикстартера для подтверждения совпадения определений хотя бы в коммутативном случае показывает, что он далек от доказательства, хотя доказательство и совсем не сложное.

[AV_77]

(Оффтоп)

Ну вы, конечно, нашли, что вспомнить. Пол года уже прошло :)

[apriv]

muzeum в сообщении #606520 писал(а):

Автор лекций дал определение для случая коммутативных колец, но использовал термин, который традиционно для некоммутативных колец имеет другой смысл.

Это же происходит в разделе, посвященном теории делимости, то есть, исключительно коммутативному случаю. Никакой нетривиальной теории некоммутативных колец в курсе вообще не предвидится. Кроме того, насколько я понимаю, автор лекций является большим специалистом по алгебраической геометрии. Думаю, по этим всем причинам он игнорирует накладку терминологии (тем более в курсе лекций для нематематиков).