Область определения (показательная функция и другие) : Анализ-I fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Область определения (показательная функция и другие)
Сообщение06.04.2007, 15:31 


02/06/06
70
Справочник по математике А.Г. Цыпкин, пункт "Рациональные алгебраические уравнения".
Автор пишет, что надо найти все корни числителя, все корни знаменателя, если числитель и знаменатель имеют один и тот же корень, то если степень этого корня у числителя больше, то этот корень является корнем рационального алгебраического уравнения. Прав ли он, или надо все корни знаменателя вычеркивать из области допустимых значений?
Подскажите пожалуйста область определения степенно-показательной ф-ии f1(x)^f2(x).
Часто пишется (-1)^n. Это какая функция? Входит ли в область определения показательной ф-ии требование неотрицательности основания?

 Профиль  
                  
 
 Re: Область определения
Сообщение06.04.2007, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5932
Новосибирск
Andrej-V писал(а):
Справочник по математике А.Г. Цыпкин, пункт "Рациональные алгебраические уравнения".
Автор пишет, что надо найти все корни числителя, все корни знаменателя, если числитель и знаменатель имеют один и тот же корень, то если степень этого корня у числителя больше, то этот корень является корнем рационального алгебраического уравнения. Прав ли он, или надо все корни знаменателя вычеркивать из области допустимых значений?

Строго говоря - не прав. Однако в некоторых рассмотрениях может оказаться удобным заткнуть разрыв в такой точке, поскольку он устранимый. Так поступают во многих случаях - не только в случае рациональных функций.
С этой целью несколько изменяется определение, но это конечно требуется оговорить особо, как вообще всякое отступление от общепринятого.

Пример из алгебры:
Цитата:
На протяжении всей главы под кольцом будем разуметь ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.04.2007, 15:18 


02/06/06
70
Спасибо.
Хочется все ж узнать область определения показательной и показательно-степенной ф-ии.
Входит ли а=1, где а - основание степени показательной ф-ии в ее область определения. Аналогично для показательно-степенной ф-ии f1(x)^f2(x), где f1(x) и f2(x) определены на всей числовой оси. Где-то встречал, что нужно f1(x) != 1; Чего-то сейчас не найду.
Вообще, что называется областью определения? Если это область в которой существуют значения ф-ии, то для показательной ф-ии область определения это не обязательно а > 0 (в таком случае м.б. и a < 0 , при некоторых заначениях х (в частности целых)). Вопрос здесь не в том, входит ли a < 0 в область определения, а в том, что такое область определения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область определения
Сообщение07.04.2007, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Andrej-V писал(а):
Подскажите пожалуйста область определения степенно-показательной ф-ии f1(x)^f2(x).
Часто пишется (-1)^n. Это какая функция? Входит ли в область определения показательной ф-ии требование неотрицательности основания?

Насчет первого вопроса где-то уже была активная дискуссия. В конце концов сошлись на том, что $f_1(x)>0$.
Если под функцией $(-1)^n$ Вы имеете в виду то, что пишется при решении тригонометрических уравнений, то это функция, определенная только на множестве целых чисел (или его подмножаствах). В область определения показательной функции обычно входит не только неотрицательность основания, но и то, что оно не равно 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.04.2007, 21:56 


02/06/06
70
Я про (-1)^n имел в виду, что это показательная ф-я и следовательно основание д.б. >0 , несмотря на то, что n - целое.
Используется не только в тригонометрии, но и к примеру в вычислении определителей.
Все ж неясно a=1 входит или нет в область определения показательной ф-ии.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
Некорректно рассматривать $(-1)^n$ как функцию при вычислениях (определителей, тригонометрии...), поскольку показательная функция должна быть определена на множестве положительных чисел. Обычно к этому добавляется ограничение, что основание не равно 1. Но, по-моему, если Вы будете рассматривать в качестве основания и 1, то ни к чему ужасному это не приведет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 12:44 


02/06/06
70
Обычно к этому добавляется ограничение, что основание не равно 1.
Я тоже так думал, но в тех учебниках, которые я просмотрел, (Смирнов, Фихтенгольц, Бергман, Кочетков) не написано, что в область определения не входит а=1. Там написано, что ф-я рассматривается при а ! = 1 (это написано, кажется, везде), при этом написано, что при а=1 ф-я - прямая линия. Кроме того во многих задачах из учебника Дорофеева, типа f1(x)^f2(x)=f3(x)^f4(x) ищется одно из решений f1(x)=1;f3(x)=1;
Не понятно, как должен считать абитуриент: может быть a=1?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 14:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Andrej-V писал(а):
Не понятно, как должен считать абитуриент: может быть a=1?

Может. Почему нет? Просто этот случай иногда надо рассматривать отдельно, как, например, в задаче $(x^2+0.5)^x=(x^2+0.5)^{1-x}$. (3 корня)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 17:32 


02/06/06
70
RIP,
Я согласен.
Но и Lion написал:
Цитата:
Обычно к этому добавляется ограничение, что основание не равно 1.
Это ограничение - что такое, оно относится к О.О. или нет?
Цитата:
Может. Почему нет?

Но в такой логике задачка, похожая на Вашу имеет ли дополнительные корни (чтоб основания равнялись 0, а показатели нет): (x^2 - 0.5)^x = (x^2 - 0/5)^(1 - x)
Почему нет?
Я хочу найти четкую фразу: показательная ф-я определена при ...
Я такой фразы не нашел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Andrej-V
Почитайте обсуждение в теме http://dxdy.ru/topic6332.html

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 22:44 


02/06/06
70
Уф. Прочитал.
Зачем посоветовали? Совсем запутался.
Вы там пишете, что рациональная (нецелая) степень от отрицательного числа определяется только для показателей вида +-1/n, где - нечетное натуральное число (например, n=3). Для всех остальных степень не определяется.
Откуда такое правило?
Бергмант, Араманович Краткий курс мат.анализа: Степенная ф-я определена для всех несократимых рациональных степеней p/q.
В Фихтенгольце, Смирнове и школьном учебнике Кочеткова Вашего правила нет.
А раньше я смеялся, когда Задорнов говорил, что в каком-то штате законодательно ввели чему должно быть равно Пи.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2007, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Andrej-V писал(а):
Уф. Прочитал.

Вы до конца почитайте. И не только RIP. Там подробно разбирается область определения $x^y$ и различных связанных функций (а также, почему она именно такова).

Andrej-V писал(а):
Бергмант, Араманович Краткий курс мат.анализа: Степенная ф-я определена для всех несократимых рациональных степеней p/q.

Это уже интересно. Чему равно $(-1)^{1/2}$? Или $1/2$ сократима?

Другой немаловажный вопрос: с какой точки зрения Вы ищите ответ? Школьный курс / вступительные экзамены? ТФКП? … Ответы могут оказаться разными…

Andrej-V писал(а):
А раньше я смеялся, когда Задорнов говорил, что в каком-то штате законодательно ввели чему должно быть равно Пи.

Ну, это известный авторитет. [off-topic]Между прочим, в США действует закон (примерно 1880х), что помидор — это овощ. Хотя всем известно, что с точки зрения биологической классификации он, как и арбуз — ягоды. Закон не устанавливает правила биологии, всего лишь таможенные правила. Другой пример: с точки зрения медицинского страхования США, беременность — это болезнь. Дальнейшее давайте в свободном полете, если конечно интересно.[/off-topic]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2007, 16:09 


02/06/06
70
незваный гость, я, конечно, поспешил. Хотел написать, что при х < 0 может существовать показатель, к примеру 3/5 (а не только с числителем дроби 1) У Бергмана, конечно, все расписано в виде таблички, где указан вид ф-ии в зависимости от значений p,q? где p - числитель в показателе, q - знаменатель.И, естественно, указано при q четном x>=0.
Про помидоры и арбуз. Они ягоды только потому, что ягодой называется ...., - они под это определение не попадают. И определение ягоды доминирует. Американцы не неправы. Просто они решили не делать такого определения ягоды, которое Вам нравиться. У них и неодушевленные предметы все среднего рода (хотя это не так с нашей колокольни).
Тему ту вчера прочитал до конца, но меня не интересует мнение каким должна быть О.О. Мы не в семинарии, где рассуждают о религиозных терминах, и каждый может сказать что-то свое, приближаясь к нирване. Число 3, кстати, тоже м.б. написано в виде 6/2, но не в этом суть. Суть в том, что не написано в учебниках: 1. Определение области определения. 2.Сами области определения тоже написаны нечетко. Пример - те же дроби в числителе. Здесь не надо рассуждать. Здесь надо, чтоб было правило.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2007, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3826
Andrej-V писал(а):
Вы там пишете, что рациональная (нецелая) степень от отрицательного числа определяется только для показателей вида +-1/n, где - нечетное натуральное число (например, n=3). Для всех остальных степень не определяется.
Откуда такое правило?

Такие ограничения были у нас в курсе мат. анализа. Именно так, только с 1 в числителе. Вроде бы я видел такое же соглашение в каком-то учебнике по мат. анализу, но точно не помню. Лично я склонен соглашаться с этим правилом. Если говорить строго, то имеется в виду следующее. Функция $f(x)=x^a$ в зависимости от постоянной $a$ имеет следующую область определения:
1) если $a\in\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{\frac1n\mid n~-\text{ натуральное нечётное}\}$, то $x\in\mathbb{R}$ (причём $x^0=1$ при $x\in\mathbb{R}$);
2) если $a\in\{-n\mid n\in\mathbb{N}\}\cup\{-\frac1n\mid n~-\text{ натуральное нечётное}\}$, то $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$;
3) при всех остальных $a$: $x\geqslant0$ или $x>0$, если $a>0$ или $a<0$ соответственно.

Но возникает проблема, когда мы рассматриваем такие выражения, как $x^{\frac{-2}{-6}}$ или $x^{\frac{\sqrt3}{\sqrt3}}$. Если рассматривать их как частные случаи функции $f(x)=x^a$, то они определены при $x\in(-\infty;+\infty)$. Но когда вместо $x$ стоит конкретное число, то дело усложняется. Согласитесь, что равенства $(-8)^{\frac{-2}{-6}}=-2$ и $(-1)^{\frac{\sqrt3}{\sqrt3}}=-1$ смотрятся несколько дико. Поэтому удобно в таких случаях считать, что $x>0$, поскольку для положительных $x$ проблем не возникает.


По поводу области определения (моя точка зрения):
Область определения функции --- множество, на котором эта функция определена, как ни банально это звучит. Но дело в том, что задать функцию --- это не просто написать какую-то формулу и сказать, что вот это мол и есть наша функция (хотя в задачах обычно так и делают). Задание области определения входит в определение фукции, если подходить к этому делу строго.

Просто когда функцию задают с помощью выражения, то вид этого выражения "по умолчанию" задаёт и область определения с помощью некоторых правил типа такого: если в выражение входит $f_1(x)^{f_2(x)}$ с непостоянной функцией $f_2(x)$, то автоматически в О.О. входит неравенство $f_1(x)>0$ (некорректная фраза, т.к. в ОО входит не само неравенство, но смысл понятен), и не потому, что при других $x$ выражение не определено, а просто потому, что это неравенство входит в ОО.

P.S. Повторюсь, что это лишь моя точка зрения на предмет. Она может не совпадать с "официальной".

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2007, 19:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/11/06
696
мехмат
RIP писал(а):
Задание области определения входит в определение фукции, если подходить к этому делу строго.


Если подходить еще строже, то нужно заметить, что $f\colon V\to W$ и $f\colon U\to W$, где $U\subset V$ --- разные (!!!) функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group