2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Симметрия относительно точки
Сообщение13.08.2012, 14:03 
Заморожен


17/04/11
420
Необходимо доказать, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

С этим возникла проблема. Во-первых, верно ли моё понимание того, что являет собой центр симметрии? Насколько я понимаю, его можно определить как точку, относительно которой для любой точки фигуры можно найти симметричную ей точку. Т. е. проведя отрезок из любой точки к центру симметрии, можно отложить от центра симметрии равное этому отрезку продолжение к противолежащей стороне.
Во-вторых, как доказать, что преобразование симметрии относительно центра пересечения диагоналей переводит параллелограмм в себя самого?
Легко доказать, что вершины параллелограмма симметричны относительно центра пересечения диагоналей, т. к. точка пересечения делит диагонали пополам. Но как доказать подобное для любой точки параллелограмма? Достаточно ли того, что любая точка $X$, лежащая на одной из сторон, имеет симметричную ей относительно центра пересечения диагоналей точку $X_1$ на противолежащей стороне лишь потому, что стороны, на которых лежат точки $X$ и $X_1$, параллельны, а концы этих отрезков-сторон симметричны? Мне такое доказательство показалось недостаточным и совершенно неубедительным. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия относительно точки
Сообщение13.08.2012, 14:08 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
BENEDIKT, ну давайте нарисуем произвольный отрезок, проходящий через центр параллелограмма и имеющий концами точки, лежащие на противоположных сторонах параллелограмма. Получим два треугольника с общей вершиной $O$ (центр фигуры) и дальше будем рассматривать подобие треугольников

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия относительно точки
Сообщение13.08.2012, 15:35 
Заморожен


17/04/11
420
Цитата:
Получим два треугольника с общей вершиной

Имеются в виду треугольники, образованные проведённым отрезком, отрезками сторон и одной из диагоналей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия относительно точки
Сообщение13.08.2012, 16:16 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
BENEDIKT в сообщении #605692 писал(а):
Имеются в виду треугольники, образованные проведённым отрезком, отрезками сторон и одной из диагоналей?

Да. Они очевидным образом равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Симметрия относительно точки
Сообщение13.08.2012, 16:56 
Заморожен


17/04/11
420
Shtorm, Mathusic
Теперь, кажется, ясно. Большое спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group