Закон квадратичной взаимности для $\mathbb{Z}[\sqrt[n]{2}]$.

[Феликс Шмидель]

Если $a_j^t_j...a_n^t_n \in B$, для некоторого $j=1, ..., n$ и некоторых целых чисел $t_j$, ..., $t_n$, то $t_j$ делится на $k_{jj}$ (поскольку число $k_{jj}$ - наименьшее целое положительное число $t_j$, такое, что $a_j^t_j...a_n^t_n \in B$ из доказательства леммы).

Пусть $t_1$, ..., $t_n$ - целые числа, такие, что $|t_1|<k_{11}$, ..., $|t_n|<k_{nn}$.
Если $a_1^t_1...a_n^t_n \in B$, то $t_1=0$, ..., $t_n=0$.

Пусть теперь $t_j$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<k_{11}$, ..., $t_n<k_{nn}$.
Тогда все элементы группы $A$ вида $a_1^t_1...a_n^t_n$ принадлежат разным смежным классам в фактор группе $A/B$.

Любой элемент группы $A$ представим в виде $a=a_1^s_1...a_n^s_n$, где $s_1$, ..., $s_n$ - целые числа.
Помножив $a$ на $b_1$ в некоторой целой степени, затем на $b_2$ в некоторой целой степени, и так далее, можно получить $a_1^t_1...a_n^t_n$, где $t_1$, ..., $t_n$ - целые неотрицательные числа, такие, что $t_1<k_{11}$, ..., $t_n<k_{nn}$.

Поэтому порядок фактор группы $A/B$ равен $k_{11}...k_{nn}$.

Мы доказали Теорему 36, стр. 46, "Теория алгебраических чисел", Гекке.

[Феликс Шмидель]

Теорема
---------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа по сложению ранга $n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$ ранга $n$.
Тогда порядок фактор группы $A/B$ равен абсолютной величине детерминанта матрицы перехода от базиса группы $A$ к базису подгруппы $B$.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$.
Утверждение теоремы верно, если базис подгруппы $B$ имеет вид $b_1=k_{11} a_1+...+k_{1n} a_n$, $b_2=k_{22} a_2+...+k_{2n} a_n$, ..., $b_n=k_{nn} a_n$, где $a_1$, ..., $a_n$ - базис группы $A$, а $k_{ij}$ - целые числа ($k_{11}$, ..., $k_{nn}$ - целые положительные числа).
Пусть $U_1$ - базис подгруппы $B$ этого вида, записанный в виде столбца элементов $b_1$, ..., $b_n$.
Пусть $U$ - какой-либо другой базис подгруппы $B$.
Пусть $V$ - базис группы $A$, записанный в виде столбца элементов $a_1$, ..., $a_n$.
Пусть $M_1$ - матрица перехода от $V$ к $U_1$.
Пусть $M_2$ - матрица перехода от $U_1$ к $U$.
Тогда $M_2 M_1$ - матрица перехода от $V$ к $U$.
Утверждение теоремы следует из того, что $M_2$ - унимодулярная матрица, то есть её детерминант равен $1$ или $-1$.

Более подробно:
Пусть $L$ - матрица перехода от $U$ к $U_1$.
Тогда $U_1=L U$, $U=M_2 U_1$, следовательно $U=M_2 L U$, значит $M_2 L=I$, где $I$ - единичная матрица.
Поэтому детерминант $|M_2 L|=1$.
Из этого следует, что матрицы $M_2$ и $L$ - унимодулярны, поскольку элементами этих матриц являются целые числа, вследствие чего детерминанты этих матриц - целые числа.
Поскольку $U_1=M_1 V$ и $U=M_2 U_1$, то $U=M_2 M_1 V$.

Мы доказали Теорему 39, стр. 48, "Теория алгебраических чисел", Гекке.

[Феликс Шмидель]

Векторным пространством над полем $F$ называется абелева группа по сложению $V$, на которой задана операция умножения на числа из поля $F$, удовлетворяющая следующим условиям:
1. $a (b x)=(a b) x$ (ассоциативность умножения на скаляр)
2. $1 x=x$ (неизменяемость при умножении на единицу)
3. $ a (x+y)=a x+a y$ и $(a+b) x=a x+b x$ (два дистрибутивных закона)

Здесь $x$ и $y$ - произвольные элементы $V$, $a$ и $b$ - произвольные элементы $F$, $1$ - единица поля $F$.

Элементы векторного пространства $V$ называются векторами, а элементы поля $F$ называются скалярами.

Линейной комбинацией векторов $v_1$, ..., $v_m$ называется выражение вида $a_1 v_1+...+a_m v_m$, где $a_1$, ..., $a_m$ - скаляры.
Всевозможные линейные комбинации векторов $a_1$, ..., $a_m$ образуют подпространство пространства $V$.
Будем говорить, что это подпространство генерируется векторами $a_1$, ..., $a_m$.
Вектора $v_1$, ..., $v_m$ называются линейно-независимыми, если из $a_1 v_1+...+a_m v_m=0$ следует $a_1=0$, ..., $a_m=0$.
Набор векторов $v_1$, ..., $v_n$ называется базисом пространства $V$, если они линейно-независимы, и любой вектор в $V$ является их линейной комбинацией.
Размерностью векторного пространства называется колличество векторов в его базисе.

Пусть $V$ - линейное пространство над полем $F$ размерности $n$.
Поскольку любой вектор однозначно представляется линейной комбинацией элементов базиса, то $V$ представляется пространством $F^n$ упорядоченных наборов $n$ скаляров: $(a_1, ..., a_n)$.
Из линейной алгебры известно, что любые $n+1$ таких набора линейно-зависимы.
Поэтому любые $n+1$ векторов пространства $V$ линейно-зависимы.
Из этого следует, что любой базис пространства $V$ имеет одинаковое число векторов.

Если $v_1, ..., v_m$ - максимальный набор линейно независимых векторов, то есть вместе с любым другим вектором $v \in V$, вектора $v_1, ..., v_m, v$ линейно-зависимы, то вектора $v_1, ..., v_m$ образуют базис пространства $V$.

[Феликс Шмидель]

Поле $F$ называется расширением поля $G$, если $F$ содержит $G$.
Это расширение обозначается $F:G$.
Если поле $F$ является расширением поля $G$, то $F$ является векторным пространством над полем $G$.
Если это векторное пространство имеет конечную размерность (то есть имеет конечный базис), то
расширение $F:G$ называется конечным.
Любой базис этого векторного пространства называется базисом расширения $F:G$.
Размерность этого векторного пространства называется степенью расширения $F:G$ и обозначается: $[F:G]$.

Пусть $H \subseteq G \subseteq F$ расширения полей.
Если поле $G$ является конечным расширением поля $H$, а поле $F$ является конечным расширением поля $G$, то поле $F$ является конечным расширением поля $H$, и

$[F:H]=[F:G] [G:H]$.

Доказательство
------------------------

Пусть $f_1, ..., f_n$ базис расширения $F:G$, а $g_1, ..., g_m$ - базис расширения $G:H$.
Тогда множество произведений $f_i g_j$, где $i=1, ..., n$; $j=1, ..., m$ образует базис расширения $F:H$.
Эти произведения линейно независимы (что доказывается приравниванием суммы выражений $h_{ij} f_i g_j$ нулю, где $h_{ij}$ - скаляры из поля $H$).
Любой элемент поля $F$ является линейной комбинацией элементов базиса $f_1$, ..., $f_n$ c коэффициентами из поля $G$, а любой из этих коэффициентов является линейной комбинацией элементов базиса $g_1, ..., g_m$ c коэффициентами из поля $H$.
Следовательно, любой элемент поля $F$ является линейной комбинацией произведений $f_i g_j$
c коэффициентами из поля $H$.

Пусть $F:G$ - расширение полей.
Пусть $f_1, ..., f_m$ - произвольные элементы поля $F$.
Минимальным подполем поля $F$, содержащим $G$ и $f_1, ..., f_m$ называется пересечение всех таких подполей.
Обозначим это минимальное подполе через $G(f_1, ..., f_m)$.

Элемент $f$ поля $F$ называется алгебраическим над полем $G$, если $f$ является корнем некоторого полинома с коэффициентами из поля $G$.

Теорема
--------------

Пусть $F:G$ - расширение полей.
Элемент $f$ поля $F$ является алгебраическим над $G$ тогда и только тогда когда $G(f):G$ является конечным расширением.
В этом случае степень расширения $[G(f):G]$ равна степени минимального полинома с коэффициентами из $G$, корнем которого является $f$.

Доказательство
------------------------
Если $F:G$ - конечное расширение степени $n$, то элементы: $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^n$ линейно-зависимы над $G$, значит $f$ является корнем некоторого полинома с коэффициентами из $G$.
Поэтому $f$ является алгебраическим над $G$.

Пусть $f$ является алгебраическим над $G$.
Пусть $n$ - степень минимального полинома $p(x)$ с коэффициентами из $G$, корнем которого является $f$.
Тогда $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^{n-1}$ - линейно-независимы над $G$.
Линейные комбинации вида $g_0+g_1 f+g_2 f^2+...+g_{n-1} f^{n-1}$ с коэффициентами из $G$
образуют абелеву группу по сложению.
Обозначим множество этих линейных комбинаций через $L$.
Из равенства $p(f)=0$ следует, что $f^n \in L$.
Из этого следует, что все степени $f^k$, где $k$ - целое положительное число принадлежат $L$,
поэтому произведение любых двух элементов из $L$ принадлежит $L$.
Значит $L$ - кольцо.
Пусть $h(f) \in L$, где $h(x)$ - ненулевой полином степени меньше $n$, c коэффициентами из поля $G$.
Докажем, что $1/h(f) \in L$.
В силу минимальности, полином $p(x)$ неразложим в произведение полиномов ненулевой степени,
поэтому полиномы $p(x)$ и $h(x)$ не имеют общих делителей ненулевой степени.
Из алгебры полиномов известно, что в кольце полиномов c коэффициентами из поля $G$ существует алгоритм деления с остатком, вследствие чего наибольший общий делитель $p(x)$ и $h(x)$ можно записать в виде $s(x) p(x)+t(x) h(x)$.
Поэтому $s(x) p(x)+t(x) h(x)=1$, где $s(x)$ и $t(x)$ - некоторые полиномы c коэффициентами из поля $G$.
Из этого равенства следует, что $t(f) h(f)=1$, что и требовалось, поскольку $t(f) \in L$.
Значит, $L$ - поле с базисом $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^{n-1}$ над полем $G$.

[Феликс Шмидель]

Замечание
--------------------

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $V$ - базис группы $A$, записанный в виде столбца элементов базиса.
Если $M$ матрица $n \times n$, то $M V$ - базис группы $A$ тогда и только тогда, когда $M$ - унимодулярна.
Это надо выделить в отдельное предложение.

Пусть $A$ - свободная абелева группа ранга $n$.
Пусть $B$ - подгруппа группы $A$.
Пусть $V$ - базис группы $A$, записанный в виде столбца элементов базиса.
Мы нашли матрицу $M$, такую, что $M V$ - базис подгруппы $B$.
Но вместо $V$ можно взять другой базис, такой что $M$ - диагональная матрица.
Это надо выделить в отдельное предложение.

-- Вт авг 14, 2012 10:30:37 --

Вместе с конспектированием книги "Лекции по теории алгебраических чисел" Гекке, мы конспектируем отличный учебник "Теория алгебраических чисел" Яна Стюарта и Давида Толла.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F:G$ - конечное расширение полей.
Тогда любой элемент $f$ поля $F$ является алгебраическим над $G$.
В самом деле, поле $G(f)$ является подпространством над $G$ конечно-мерного векторного пространства $F$ над $G$, поэтому $G(f):G$ является конечным расширением, следовательно элемент $f$ является алгебраическим над $G$.

Полином с коэффиентами из поля $G$ называется неприводимым над $G$, если он не разлагается в произведение полиномов ненулевой степени с коэффициентами из $G$.
Пусть $F:G$ - конечное расширение полей.
Неприводимый над $G$ полином $p(x)$ с корнем $f \in F$ называется минимальным полиномом элемента $f$.

Лемма
-------------

Пусть $p(x)$ - неприводимый над полем $G$ полином степени $n\geq 1$.
Тогда существует поле $F$, содержащее поле $G$, такое, что $[F:G]=n$ и полином $p(x)$ имеет корень в поле $F$.

Доказательство:
--------------------------

Если $n=1$ положим $F=G$.
Пусть $n>1$.

Пусть $H$ - множество упорядоченных наборов, каждый из которых содержит $n$ элементов поля $G$.
Каждому набору $(a_0, ..., a_{n-1})$ из $H$ поставим в соответствие полином $a_0+a_1 x+...+a_{n-1} x^{n-1}$.
Пусть наборы $a$ и $b$ принадлежат $H$, и пусть $a(x)$ и $b(x)$ - соответствующие им полиномы.
Сумма $a+b$ определяется как набор, соответствующий полиному $a(x)+b(x)$.
Пусть полином $c(x)$ является остатком от деления $a(x) b(x)$ на $p(x)$ в кольце полиномов с коэффициентами из поля $G$.
Определим произведение $a b$ как набор, соответствующий полиному $c(x)$.
Множество $H$ с этими операциями сложения и умножения является полем.
Пусть $F$ - поле, полученное заменой в $H$ каждого набора вида $(a, 0, ..., 0)$ элементом $a$.
Пусть $f=(0, 1, 0, ..., 0)$.
Тогда $F=G(f)$ и $p(f)=0$.
Поскольку полином $p(x)$ неприводим над $G$, то $[F:G]=n$.


Следствие 1
--------------------
Пусть $p(x)$ - полином с коэффициентами из поля $G$, степени $n\geq 1$.
Тогда существует поле $F$ в котором $p(x)$ имеет корень, и которое является конечным расширением поля $G$.

Доказательство
-------------------------

Пусть $q(x)$ - неприводимый над полем $G$ полином ненулевой степени, который является делителем полинома $p(x)$ в кольце полиномов $G[x]$.
Согласно лемме, $q(x)$ имеет корень $f$ в некотором поле $F$, являющимся конечным расширением поля $G$.
Элемент $f$ является корнем полинома $p(x)$.


Следствие 2
--------------------
Пусть $p(x)$ - полином с коэффициентами из поля $G$, степени $n\geq 1$.
Тогда существует поле $F$ в котором $p(x)$ разлагается на $n$ линейных множителей, и которое является конечным расширением поля $G$.

Доказательство:
------------------------
Предположим обратное, и пусть $n\geq 1$ - наименьшая степень для которой это неверно.
Если $n=1$, то $p(x)$ разлагается на $n$ линейных множителей в поле $F=G$, что противоречит предположению.
Пусть $n>1$.
Согласно следствию 1, существует поле $F_1$, в котором $p(x)$ имеет корень $f_1$, и которое является конечным расширением поля $G$.
Разделив полином $p(x)$ на $x-f_1$ получим полином $p_1(x)$ с коэффициентами из поля $F_1$.
В силу минимальности $n$, существует поле $F$, в котором $p_1(x)$ разлагается на $n-1$ линейных множителей, и которое является конечным расширением поля $F_1$.
В поле $F$, полином $p(x)$ разлагается на $n$ линейных множителей, и $F:G$ - конечное расширение, что противоречит предположению.

Пусть $F:G$ - конечное расширение полей.
Элемент $f \in F$ называется сепарабельным, если минимальный полином $p(x)$, которому он принадлежит не имеет кратных корней ни в каком расширении поля $G$.
Если производная $p'(x)$ не равна тождественно нулю, то $p(x)$ - не имеет кратных корней.
Это следует из того, что кратные корни $p(x)$ являются также корнями $p'(x)$ и из неприводимости $p(x)$.
Поэтому, если поле $G$ имеет характеристику $0$, то $p(x)$ - не имеет кратных корней.
Расширение $F:G$ называется сепарабельным, если все элементы поля $F$ сепарабельны.
Все расширения, с которыми мы будем иметь дело, сепарабельны.
Несепарабельные расширения вообще редко встречаются (рекомендуем обсуждение сепарабельности в книге "Алгебра", Ван Дер Вардена).

Конечное расширение полей вида $G(a):G$ называется простым расширением.

Теорема
--------------

Любое конечное сепарабельное расширение полей является простым.

Доказательство:
-------------------------

Пусть $F:G$ - конечное сепарабельное расширение полей.
Тогда $F=G(f_1, ..., f_s)$, где $f_1$, ..., $f_s$ - базис этого расширения.
Докажем, что расширение $G(h_1, ..., h_m):G$ является простым для любых элементов $h_1, ..., h_m$ поля $F$.
Предположим обратное, и пусть $m$ - наименьшее целое положительное число, для которого это не верно.
Если $m=1$, то расширение $G(h_1, ..., h_m):G$ - простое, что противоречит предположению.
Пусть $m>1$.
В силу минимальности $m$, расширение $G(h_1, ..., h_{m-1}):G$ является простым.
Значит существует такое $b \in F$, что $G(h_1, ..., h_{m-1})=G(b)$.
Пусть $c=h_m$.
Докажем, что $G(b, c):G$ - простое расширение.

Поскольку $F:G$ - конечное расширение, то элементы $b$ и $c$ являются алгебраическими над $G$.
Пусть $p(x)$ - минимальный полином элемента $b$, и $q(x)$ - минимальный полином элемента $c$.

Согласно следствию 2, существует поле $L$, содержащее поле $B$, и такое, что полиномы $p(x)$ и $q(x)$ разлагаются в $L$ на линейные множители.
Пусть $b_1$, ..., $b_n$ - все корни полинома $p(x)$ ($b_1=b$), принадлежащие $L$.
Пусть $c_1$, ..., $c_k$ - все корни полинома $q(x)$ ($c_1=c$), принадлежащие $L$.

Пусть $a=b+c g$, где $g \in G$ будет выбран позднее.

Имеем: $p(a-c g)=0$ и $q(c)=0$.

Выберем $g \in G$ так, чтобы полиномы $p(a-x g)$ и $q(x)$ имели в поле $L$ единственный общий корень $x=c$.
Условия этого: $a-c_i g \neq b_j$, при $i=2, ..., n$; $j=1, ..., k$.
Или $b+c g - c_i g\neq b_j$, или

(1) $g\neq (b-b_j)/(c_i-c)$, при $i=2, ..., n$; $j=1, ..., k$.

Поскольку элемент $c$ принадлежит $F$, и $F:G$ является сепарабельным расширением, то $c$ является сепарабельным элементом.
Поэтому $c_i\neq c$ при $i=2, ..., n$, и существует $g \in G$, удовлетворяющее условиям (1).

Из того, что полиномы $p(a-x g)$ и $q(x)$ имеют в поле $L$ единственный общий корень $x=c$,
следует, что $x-c$ является наибольшим общим делителем этих многочленов.
Поскольку все коэффициенты этих многочленов принадлежат полю $G(a)$, то $c \in G(a)$.
Теперь из $a=b+c g$ следует $b \in G(a)$.
Значит $G(b, c)=G(a)$, а поскольку $G(b, c)=G(h_1, ..., h_m)$, то расширение $G(h_1, ..., h_m):G$ является простым, что противоречит предположению.


Алгебраическими числами, называются комплексные числа, алгебраические над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Пусть $a$ и $b$ - алгебраические числа.
Тогда

(1) $[\mathbb{Q}(a, b):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(a, b):\mathbb{Q}(a)][\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]$.

Поскольку число $b$ - алгебраическое над $\mathbb{Q}$, то оно тем более алгебраическое над $\mathbb{Q}(a)$, поэтому сомножители в правой части (1) конечны, следовательно $\mathbb{Q}(a, b):\mathbb{Q}$ является конечным расширением полей.
Поскольку $a+b$, $a-b$, $a b$ и $a/b$ (при $b\neq 0$) принадлежат полю $\mathbb{Q}(a, b)$, то эти числа являются алгебраическими.
Таким образом множество всех алгебраических чисел является полем.

Поле всех алгебраических чисел не является конечным расширением $\mathbb{Q}$, и оно не так интересно для нас, как его подполя $F$, для которых $F:\mathbb{Q}$ является конечным расширением.
Подполе $F$ поля всех комплексных чисел называется числовым полем, если $F:\mathbb{Q}$ является конечным расширением.
Все элементы числового поля являются алгебраическими числами.

Если $F$ - числовое поле, то расширение $F:\mathbb{Q}$ является простым, значит существует алгебраическое число $a$, такое что $F=\mathbb{Q}(a)$.

[Феликс Шмидель]

Исправление
--------------------

Приведённое доказательство теоремы о примитивном элементе (любое конечное сепарабельное расширение полей является простым) использует бесконечность поля $G$.
Если поле $G$, следовательно и поле $F$ - конечно, то элементы $F$, отличные от нуля образуют циклическую группу, поэтому теорема о примитивном элементе всё равно верна.

Докажем, что любая конечная группа $A$ по умножению элементов любого поля $F$ - циклическая.

Доказательство
------------------------

Поскольку $A$ - конечная абелева группа, то она является прямым произведением примарных подгрупп (порядка $p^k$).
Достаточно показать, что все они циклические.
Пусть $B$ - какая-либо примарная подгруппа группы $A$, порядка $p^k$.
Предположим, что $B$ не циклическая.
Тогда $B$ является прямым произведением циклических подгрупп порядка меньше $p^k$, следовательно для любого $x \in B: x^{(p^{k-1})}=1$.
Это уравнение имеет $p^k$ различных решений в поле $F$, что невозможно.

-- Ср авг 15, 2012 15:22:28 --

Исправление
--------------------

Феликс Шмидель в сообщении #606207 писал(а):

Согласно следствию 2, существует поле $L$, содержащее поле $B$, и такое, что полиномы $p(x)$ и $q(x)$ разлагаются в $L$ на линейные множители.

исправляется на

Согласно следствию 2, существует поле $L$, содержащее поле $F$, и такое, что полиномы $p(x)$ и $q(x)$ разлагаются в $L$ на линейные множители.

[ishhan]

Уважаемый Феликс Шмидель!
Всё это прекрасно, конспект продолжается, но хотелось бы небольших лирических отступлений.
Ну хотя бы о том, связан-ли, и если да, то каким именно образом, "метод квадратичной взаимности" с методом Софи Жермен.
А то как- то слишком сухо...

[Феликс Шмидель]

ishhan в сообщении #606517 писал(а):

Уважаемый Феликс Шмидель!
Всё это прекрасно, конспект продолжается, но хотелось бы небольших лирических отступлений.
Ну хотя бы о том, связан-ли, и если да, то каким именно образом, "метод квадратичной взаимности" с методом Софи Жермен.
А то как- то слишком сухо...

Закон квадратичной взаимности никак не связан с методом Софи Жермен.
Зато он напрямую связан с доказательством Тержаняна для чётных степеней.
Кроме этого закон взаимности позволяет в несколько строчек доказать наиболее сильный критерий для справедливости ВТФ: $2^{n-1}\equiv 1$ по модулю $n^2$.
Я хочу собрать наиболее важные результаты в теории алгебраических чисел и записать их в доступной форме.
Это может помочь тем, кто пытается доказать ВТФ.

[Феликс Шмидель]

Пусть $F$ - числовое поле.
Согласно теореме о примитивном элементе: $F=\mathbb{Q}(g)$, где $g$ - некоторое число поля $F$.
Пусть $p(x)$ - минимальный полином числа $g$, степени $n$.
Тогда $[F:\mathbb{Q}]=n$.
Пусть $g_1, ..., g_n$ - все комплексные корни полинома $p(x)$, где $g_1=g$.
Поскольку характеристика поля $\mathbb{Q}$ равна нулю, то число $g$ сепарабельно и все корни $g_1$, ..., $g_n$ различны.

Алгебраических числа называются сопряжёнными, если они являются корнями одного и того-же неприводимого полинома с рациональными коэффициентами.

Корни ‏$g_1$, ..., $g_n$ являются сопряжёнными.

Любое число $\alpha$ поля $F$ однозначно представляется в виде: $\alpha=a_0+a_1 g+a_2 g^2+...+a_{n-1} g^{n-1}$, где $a_0$, ..., $a_{n-1}$ - рациональные числа.
Заменим в этих выражениях число $g$ на одно из сопряжённых с ним чисел $g_i$.
Полученные, таким образом, выражения образуют поле $F_i$, которое, в некотором смысле, является копией поля $F$.
Любое верное равенство с рациональными числами и $g$ остаётся верным, если $g$ заменить на одно из сопряжённых с ним чисел $g_i$.

Пусть, например,

$(a_0+a_1 g+a_2 g^2+...+a_{n-1} g^{n-1})(b_0+b_1 g+b_2 g^2+...+b_{n-1} g^{n-1})= c_0+c_1 g+c_2 g^2+...+c_{n-1} g^{n-1}$.

Тогда,

$(a_0+a_1 g_i+a_2 g_i^2+...+a_{n-1} g_i^{n-1})(b_0+b_1 g_i+b_2 g_i^2+...+b_{n-1} g_i^{n-1})= c_0+c_1 g_i+c_2 g_i^2+...+c_{n-1} g_i^{n-1}$.

В самом деле, пусть

$f(x)=(a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_{n-1} x^{n-1})(b_0+b_1 x+b_2 x^2+...+b_{n-1} x^{n-1})- (c_0+c_1 x+c_2 x^2+...+c_{n-1} x^{n-1})$.

Тогда $f(g)=0$, значит полином $f(x)$ делится на полином $p(x)$: $f(x)=p(x) h(x)$.
Из этого равенства следует $f(g_i)=p(g_i) h(g_i)=0$.

Числа $\alpha_i=a_0+a_1 g_i+a_2 g_i^2+...+a_{n-1} g_i^{n-1}$ являются сопряжёнными, поскольку если одно из них является корнем неприводимого полинома $p_\alpha(x)$, то они все являются корнями этого полинома (в силу только что доказанного).

Однако, среди чисел $\alpha_i$ могут быть равные.
Например, если коэффициенты $a_1$, ..., $a_{n-1}$ равны нулю, то все числа $\alpha_i$ равны $a_0$.
Если не все $a_1$, ..., $a_{n-1}$ равны нулю, то всё равно среди чисел $\alpha_1$, ..., $\alpha_n$ могут быть одинаковые.
Однако, если $n$ - простое число, то все числа $\alpha_1$, ..., $\alpha_n$ - различны (если не все $a_1$, ..., $a_{n-1}$ равны нулю).

Теорема
---------------

Пусть $F:\mathbb{Q}$ - конечное расширение поля рациональных чисел.
Пусть $F=\mathbb{Q}(g)$, где $g$ - некоторое число поля $F$.

Пусть $p(x)$ - минимальный полином числа $g$, степени $n$, c комплексными корнями ‏$g_1$, ..., $g_n$.

Пусть $\alpha=a_0+a_1 g+a_2 g^2+...+a_{n-1} g^{n-1}$, где $a_0$, ..., $a_{n-1}$ - рациональные числа.

Пусть $\alpha_i=a_0+a_1 g_i+a_2 g_i^2+...+a_{n-1} g_i^{n-1}$ для $i=1, ..., n$.

Пусть $f(x)=(x-\alpha_1)...(x-\alpha_n)$, и $q_\alpha(x)$ - минимальный полином числа $\alpha$, степень которого равна $m$.

Тогда $n$ делится на $m$ и $f(x)=(q_\alpha(x))^{n/m}$.

Доказательство:
------------------------

Поскольку $f(\alpha)=0$, то полином $f(x)$ делится на $q_\alpha(x)$.
Любой полином $h(x)$, корнем которого является одно из чисел $\alpha_1$, ..., $\alpha_n$ делится на $q_\alpha(x)$, поскольку $h(\alpha)=0$.
Из этого следует, что любой делитель полинома $f(x)$ делится на $q_\alpha(x)$.
Значит $f(x)$ является степенью полинома $q_\alpha(x)$, из чего следует утверждение теоремы.

Таким образом, множество чисел $\alpha_1$, ..., $\alpha_n$ разбивается на $m$ подмножеств, по $n/m$ одинаковых корней в каждом.

[Феликс Шмидель]

Исправление
--------------------

Феликс Шмидель в сообщении #606207 писал(а):

Полином с коэффиентами из поля $G$ называется неприводимым над $G$, если он не разлагается в произведение полиномов ненулевой степени с коэффициентами из $G$.
Пусть $F:G$ - конечное расширение полей.
Неприводимый над $G$ полином $p(x)$ с корнем $f \in F$ называется минимальным полиномом элемента $f$.

исправляется на:

Полином с коэффиентами из поля $G$ называется неприводимым над $G$, если он не разлагается в произведение полиномов ненулевой степени с коэффициентами из $G$.
Пусть элемент $f$ является алгебраическим над $G$.
Минимальным полиномом элемента $f$ называется неприводимый над $G$ полином $p(x)$ со старшим коэффициентом $1$, корнем которого является $f$.

[Феликс Шмидель]

Целым алгебраическим числом называется алгебраические число, минимальный полином которого имеет целые коэффициенты.

Лемма
--------------

Если комплексное число $g$ является корнем полинома $f(x)$ c целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1, то $g$ - целое алгебраическое число.

Доказательство
-------------------------
Минимальный полином числа $g$ можно представить в виде $\frac{q(x)}{m}$, где $q(x)$ - многочлен с целыми коэффициентами, а $m$ - целое положительное число.
Выберем целое положительное число $m$ таким образом, чтобы нельзя было сократить все коэффициенты $q(x)$ на некоторый простой делитель числа $m$.
Поскольку полином $f(x)$ делится на минимальный полином числа $g$, то $f(x)=\frac{q(x)}{m}\frac{h(x)}{k}$, где $k$ - целое положительное число, а $h(x)$ - полином с целыми коэффициентами, которые нельзя все сократить на простой делитель числа $k$.
Согласно лемме Гаусса, если все коэффициенты произведения $q(x)h(x)$ делятся на некоторое простое число $p$, то либо все коэффициенты $q(x)$ делятся на $p$, либо все коэффициенты $h(x)$ делятся на $p$.
Значит все коэффициенты $q(x)$ делятся на $k$, а все коэффициенты $h(x)$ делятся на $m$.
Поскольку старшие коэффициенты полиномов $\frac{q(x)}{m}$ и $\frac{h(x)}{k}$ равны 1, то $m$ делится на $k$, и $k$ делится на $m$, значит $m=k$, и все коэффициенты этих многочленов - целые числа.

[Феликс Шмидель]

Лемма
-------------

Комплексное число $g$ является целым алгебраическим тогда и только тогда когда все степени $g$: $1$, $g$, $g^2$, ... принадлежат некоторой конечно-генерируемой абелевой группе.

Доказательство
-------------------------

Пусть $g$ - целое алгебраическое число с минимальным полиномом $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$.
Тогда степени $g$: $g^n$, $g^{n+1}$, ... являются линейными комбинациями элементов $1$, $g$, ..., $g^{n-1}$ с целыми коэффициентами, поэтому абелева группа, генерируемая этими элементами содержит все степени $g$: $1$, $g$, $g^2$, ...

Пусть все степени $g$: $1$, $g$, $g^2$, ... принадлежат некоторой конечно-генерируемой абелевой группе.
Тогда подгруппа, генерируемая этими степенями, тоже является конечно-генерируемой.
Пусть $v_1$, ..., $v_m$ - генераторы этой подгруппы.
Каждый из этих генераторов равен линейной комбинации конечного числа степеней $g$ с целыми коэффициентами.
Пусть степень $g^n$ превышает все степени, которые входят в эти линейные комбинации.
Тогда число $g^n$ представимо в виде линейной комбинации меньших степеней $g$, с целыми коэффициентами.
Поэтому $g$ - целое алгебраическое число.

Обычно приводится более сложное доказательство этой леммы с использованием матрицы, поэтому я не исключаю возможность ошибки в этом доказательстве.
Буду признателен за проверку.

[Феликс Шмидель]

Теорема
---------------

Сумма и произведение целых алгебраических чисел являются целыми алгебраическими числами.

Доказательство:
---------------------------

Пусть $f$ и $g$ - целые алгебраические числа.
Пусть $x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_0$ и $x^m+b_{m-1} x^{m-1}+...+b_0$ - минимальные полиномы $f$ и $g$.
Любая степень $f^t$, где $t$ - целое неотрицательное чисо, является линейной комбинацией степеней $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^{n-1}$ с целыми коэффициентами.
Любая степень $g^s$, где $s$ - целое неотрицательное чисо, является линейной комбинацией степеней $1$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ с целыми коэффициентами.
Значит $f^t g^s$ является линейной комбинацией произведений $f^i g^j$, где $i=0, 1, ..., n-1$; $j=0, 1, ..., m-1$, с целыми коэффициентами.
Поэтому все степени $f+g$ и $fg$ принадлежат абелевой группе по сложению, генерируемой этими произведениями.
Согласно лемме, $f+g$ и $fg$ являются целыми алгебраическими числами.

[Феликс Шмидель]

Исправление
-----------------------

Феликс Шмидель в сообщении #607009 писал(а):

Любая степень $f^t$, где $t$ - целое неотрицательное чисо, является линейной комбинацией степеней $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^{n-1}$ с целыми коэффициентами.
Любая степень $g^s$, где $s$ - целое неотрицательное чисо, является линейной комбинацией степеней $1$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ с целыми коэффициентами.

исправляется на:

Любая степень $f^t$, где $t$ - целое неотрицательное число, является линейной комбинацией степеней $1$, $f$, $f^2$, ..., $f^{n-1}$ с целыми коэффициентами.
Любая степень $g^s$, где $s$ - целое неотрицательное число, является линейной комбинацией степеней $1$, $g$, $g^2$, ..., $g^{m-1}$ с целыми коэффициентами.