Разложение функции в ряд по степеням двойки

[Eugene ZL]

Здравствуйте,уважаемые математики! По ходу своей научной деятельности (я физико-химик) столкнулся с необходимостью разложения функции

\[ f(x) = \sin (x) \]

в ряд

\[ f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k 2^{kx} } \]

в интрвале (-1,1) в точке

\[ x_0 = 0.5 \]

Есть ли методы,позволяющие провести такое разложение ?

[Eugene ZL]

Здравствуйте ! Помогите решить следующую задачу:
Дана непрерывная на интервале (a,b) действительная функция функция
y=f(x).Требуется представить её в виде ряда

\[ f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k 2^{kx} } \]

в точке

\[ x_0 \in \left( {a,b} \right) \]

т.е найти коэффициенты разложения

\[ a_k ,k = \overline {0,n} \]

[PAV]

PAV:

Кросс-постинг запрещен правилами форума. Темы слиты в одну.

[RIP]

Должна помочь замена переменной: $t=2^x\in(2^a;2^b)$.
Тогда функция $f(x)$ превратится в функцию $g(t)=f(\log_2t)$, а сумма $\sum_{k=0}^na_k2^{kx}~-$ в $\sum_{k=0}^na_kt^k$, т.е. обычный многочлен.

[Eugene ZL]

Согласен .Тогда поставим более общую задачу: дана система функций

\[ 1,u_1 \left( x \right),u_2 \left( x \right),...,u_n \left( x \right) \]

,непрерывных на интервале (a,b) и функция y=f(x),также непрерывная на (a,b).Требуется разложить функцию в ряд

\[ f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k u_k \left( x \right)} \]

[bot]

Это не ряд и конечным числом функций, очевидно, не обойтись (и бесконечным не всяким).

[neo66]

Это одна из стандартных задач функционального анализа. При этом, неплохо было бы спросить себя в каком смысле понимается сходимость. Если все происходит в пространстве функций со скалярным произведением, то ответ тривиален - это просто разложение в ряд Фурье. Если интересует поточечная сходимость, то вопрос решается отдельно в каждом конкретном случае.

[нг]

перемещаю

[bot]

neo66 писал(а):

Это одна из стандартных задач функционального анализа.

Она станет стандартной, если есть полная система функций, а какая может быть полнота для конечной системы?
Для любой неполной (в частности, для любой конечной) системы {u_i} можно выбрать функцию f, сколь угодно далёкую от нуля в любом смысле (поточечно или в среднем), для которой u_i при разложении f надо брать с нулевыми коэффициентами.

[незваный гость]

Наверное, ляпну глупость, но скажу, как думаю.

Eugene ZL писал(а):

столкнулся с необходимостью разложения функции $ f(x) = \sin (x) $ в ряд

То, что Вы написали, конечно, не ряд. Но, если задача состоит в приближении Вашей функции такой суммой, то самый распространенный метод ее решения — это метод наименьших квадратов. Мы минимизируем $\int(f(x) - \sum a_k u_k(x))^2 {\rm d} x + M \, (f(x_0) - \sum a_k u_k(x_0))^2$. Меняя значение $M$, мы можем регулировать качество приближения в точке $x_0$ (Мы может и просто потребовать равенство. В этом случае мы выражаем $a_0$ через остальные $a_k$, и делаем, как в прошлый раз.)