2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Разложение функции в ряд по степеням двойки
Сообщение05.04.2007, 10:26 
Здравствуйте,уважаемые математики! По ходу своей научной деятельности (я физико-химик) столкнулся с необходимостью разложения функции \[
f(x) = \sin (x)
\]

в ряд \[
f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k 2^{kx} } 
\]
в интрвале (-1,1) в точке \[
x_0  = 0.5
\]

Есть ли методы,позволяющие провести такое разложение ?

 
 
 
 Разложение в ряд a+b*2^x+c*2^2x+...
Сообщение05.04.2007, 11:11 
Здравствуйте ! Помогите решить следующую задачу:
Дана непрерывная на интервале (a,b) действительная функция функция
y=f(x).Требуется представить её в виде ряда
\[
f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k 2^{kx} } 
\]
в точке \[
x_0  \in \left( {a,b} \right)
\]
т.е найти коэффициенты разложения \[
a_k ,k = \overline {0,n} 
\]

 
 
 
 
Сообщение05.04.2007, 11:16 
Аватара пользователя
 !  PAV:
Кросс-постинг запрещен правилами форума. Темы слиты в одну.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2007, 11:57 
Аватара пользователя
Должна помочь замена переменной: $t=2^x\in(2^a;2^b)$.
Тогда функция $f(x)$ превратится в функцию $g(t)=f(\log_2t)$, а сумма $\sum_{k=0}^na_k2^{kx}~-$ в $\sum_{k=0}^na_kt^k$, т.е. обычный многочлен.

 
 
 
 
Сообщение05.04.2007, 12:10 
Согласен :) .Тогда поставим более общую задачу: дана система функций \[
1,u_1 \left( x \right),u_2 \left( x \right),...,u_n \left( x \right)
\],непрерывных на интервале (a,b) и функция y=f(x),также непрерывная на (a,b).Требуется разложить функцию в ряд\[
f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k u_k \left( x \right)} 
\]

 
 
 
 
Сообщение05.04.2007, 15:44 
Аватара пользователя
Это не ряд и конечным числом функций, очевидно, не обойтись (и бесконечным не всяким).

 
 
 
 
Сообщение05.04.2007, 17:56 
Это одна из стандартных задач функционального анализа. При этом, неплохо было бы спросить себя в каком смысле понимается сходимость. Если все происходит в пространстве функций со скалярным произведением, то ответ тривиален - это просто разложение в ряд Фурье. Если интересует поточечная сходимость, то вопрос решается отдельно в каждом конкретном случае.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2007, 00:53 
Аватара пользователя
перемещаю

 
 
 
 
Сообщение06.04.2007, 12:12 
Аватара пользователя
neo66 писал(а):
Это одна из стандартных задач функционального анализа.

Она станет стандартной, если есть полная система функций, а какая может быть полнота для конечной системы?
Для любой неполной (в частности, для любой конечной) системы {u_i} можно выбрать функцию f, сколь угодно далёкую от нуля в любом смысле (поточечно или в среднем), для которой u_i при разложении f надо брать с нулевыми коэффициентами.

 
 
 
 
Сообщение06.04.2007, 18:30 
Аватара пользователя
:evil:
Наверное, ляпну глупость, но скажу, как думаю.
Eugene ZL писал(а):
столкнулся с необходимостью разложения функции $ f(x) = \sin (x) $ в ряд

То, что Вы написали, конечно, не ряд. Но, если задача состоит в приближении Вашей функции такой суммой, то самый распространенный метод ее решения — это метод наименьших квадратов. Мы минимизируем $\int(f(x) - \sum a_k u_k(x))^2 {\rm d} x + M \, (f(x_0) - \sum a_k u_k(x_0))^2$. Меняя значение $M$, мы можем регулировать качество приближения в точке $x_0$ (Мы может и просто потребовать равенство. В этом случае мы выражаем $a_0$ через остальные $a_k$, и делаем, как в прошлый раз.)

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group