сократить дробь

[Digiter]

В общем, вот еще задача из Виленкина 8 класс
191 Сократите дробь
\begin{gather*} \frac{a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b)}{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)} \end{gather*}

Вот мои выкладки
Если $a = b$, $a = c$ или $b = c$, то $A = a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) = 0$ и по теореме Безу $A = (a - b)(b - c)(c - a)B$. Т. к. $A$ - четвертой степени а $(a - b)(b - c)(c - a)$ - второй, то $B$ - второй, тогда:
\begin{gather*} a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) = (a - b)(b - c)(c - a)(\lambda a^2 + \mu b^2 + \nu c^2) \end{gather*}
Аналогично $a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$ делится на $(a - b)$, $(b - c)$ и $(c - a)$, поэтому
\begin{gather*} \frac{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)}{(a - b)(b - c)(c - a)} = -1 \end{gather*}
значит
\begin{gather*} a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = - (a - b)(b - c)(c - a) \end{gather*}
В итоге получаем:
\begin{gather*} \frac{a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b)}{a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)} = \frac{- (a - b)(b - c)(c - a)(a^2 + b^2 + c^2)}{- (a - b)(b - c)(c - a)} = \\ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b +c)^2 - 2(ab + bc +ac) \end{gather*}
Что я упустил, если в ответах пишут $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc +ac$?

[gris]

Откуда икс появился? Многочлены все от трёх переменныx. Теорема Безу применена верно. Небольшая описка насчёт степеней. Надо ...пятой...третьей. Но многочлен $B$ будет правильно, второй. И он кроме квадратов может содержать ещё и попарные произведения. Но тут с неопределёнными коэффициентами тяжело будет, но можно заметить, что вся дробь симметрична относительно перестановки переменных.

+++ А к тому же частное однородный многочлен, значит зависит от суммы первых степеней и от суммы попарных произведений. То есть имеем только два неопределённых коэффициента. А это уже написал Ales

[Ales]

Digiter в сообщении #604194 писал(а):

Что я упустил, если в ответах пишут $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc +ac$?

Вот это утверждение совершенно левое:

Digiter в сообщении #604194 писал(а):

тогда:
$a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) = (a - b)(b - c)(c - a)(\lambda a^2 + \mu b^2 + \nu c^2)$

На самом деле, из симметричности выражения относительно перестановок $a,b,c $
и из того, что выражение обращается в ноль при $a=b$ следует:

$a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) = (a - b)(b - c)(c - a)(\lambda (a^2 + b^2 + c^2)+ \mu (ab + bc + ca) )$

Отмечу, что перестановка $a - b$ дает косую симметрию (равносильна умножению на -1).

[gris]

Кстати, в данном случае можно обойтись и без симметричности. Главное, догадаться о делимости на попарные разности, а потом разложить оба многочлена на множители, группируя каждый раз по два одночлена. А можно набраться терпения и тупо разделить числитель на знаменатель в столбик, считая их многочленами относительно одной из переменных. (Вот тут я согласен, что знаменатель многочлен 4 степени относительно каждой из переменных в отдельности).
Это я к тому, что задача доступна и тем, кто учился по стандартной программе.

[Shtorm]

gris в сообщении #604455 писал(а):

А можно набраться терпения и тупо разделить числитель на знаменатель в столбик, считая их многочленами относительно одной из переменных....

Я, кстати, так и попробывал. Выражение $a^2+b^2+c^2$ получается очень легко. А вот дальше нужно уже задаваться дробными множителями. И я бросил эту затею.

[Digiter]

я просто хотел сделать все как в учебнике было написано
чтобы не переписывать выложу фото страницы

тоже самое, только для четвертой степени, ничего не понимаю

[gris]

Так Вы всё почти правильно сделали: по теореме Безу $A = (a - b)(b - c)(c - a)B$. Т. к. $A$ - пятой степени а $(a - b)(b - c)(c - a)$ - третьей, причём они однородные, то $B$ - однородный второй, тогда:
\begin{gather*} a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) = (a - b)(b - c)(c - a)(\lambda a^2 + \mu b^2 + \nu c^2 +\alpha ab+\beta bc+\gamma ca) \end{gather*}
К Вашему тексту я добавил только попарные произведения. Можно по очереди отыскать все коэффициенты, а можно, заметив симметричность, приравнять первые три друг другу и последние три.

[Ales]

gris в сообщении #604455 писал(а):

Кстати, в данном случае можно обойтись и без симметричности.

Но только это не правильно.
Всегда, когда встречаешь алгебраическую задачу надо использовать симметрии.


Я не люблю олимпиадные задачи и прочие "сложные" задачи за то,
что они составляются и решаются с помощью приемов неизвестных школьнику и студенту.

Эти олимпиадные задачи совершенно бесполезны.
Когда решаешь такую "нестандартную" задачу надо в первую очередь проникнуть в замысел автора.
Авторы располагают обычно довольно ограниченным набором приемов, и человеку опытному они все известны.

Есть ещё случай, когда автор наткнулся на результат случайно и предлагает это в качестве задачи.
Такую задачу решить довольно трудно, может быть даже и невозможно.

Те задачи, которые ставит реальность, совсем другие и они решаются совсем по-другому, если вообще решаются.

[gris]

Согласен с Вами.
Я и упомянул, что при достаточном терпении и внимательности можно решить задачу практически в лоб. Но знание некоторых приёмов значительно облегчает решение.
Для школьников, готовящихся поступать в серьёзные ВУЗы, вступительные экзамены есть самая что ни на есть реальность. И хотя вступительные задачи, к примеру, на мехмат формально не требуют дополнительных знаний к школьному стандарту, средний школьник без специальной подготовки с ними не справится.
Вот именно для того, чтобы успешно действовать в этой суровой реальности и нужно тусить на форуме решать побольше задач, в том числе и олимпиадных. Становиться человеком опытным согласно Вашим словам.

[Ales]

gris в сообщении #604640 писал(а):

Вот именно для того, чтобы успешно действовать в этой суровой реальности и нужно тусить на форуме решать побольше задач, в том числе и олимпиадных.

И ещё хорошо бы читать разные книги по математике или посещать какие-нибудь лекции.

[Digiter]

Ну наконец то, я все понял, спасибо вам!

[arqady]

Digiter, дополнительное упражнение для Вас.
Сократите дробь:

$$\frac{a(b-c)^4+b(a-c)^4+c(a-b)^4}{a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2}$$

[Digiter]

arqady
Пока я решал следующие задачи, меня осенило: я так и не понял, в чем симметричность многочленов $(a - b)(b - c)(c - a)$ и $a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b)$, ведь если поменяем, например $a$ и $b$ местами, то
\begin{gather*} (a - b)(b - c)(c - a) \ne (b - a)(a - c)(c - b) = -(a - b)(b - c)(c - a) \\ a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b) \ne b^4(a - c) + a^4(c - b) + c^4(b - a) = -(a^4(b - c) + b^4(c - a) + c^4(a - b)) \end{gather*}
извините за тупой вопрос, если что

[gris]

Симметрична вся дробь, а числитель и знаменатель оба антисимметричны.

[Digiter]

что касается дроби

числитель можно представить так

\[ a(b - c)^4 + b(a - c)^4 + c(a - b)^4 = a(b - c)^4 + b(a - c)^4 - c(b - a)^4 \]

тогда если $a = c$, то числитель обращается в нуль и делится на $a - c$
или даже лучше, если $a = b = c$ то дробь можно сократить на $(a - b)(b - c)(c - a)$