тензорное произведение

[Oleg Zubelevich]

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

То есть писал $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$. Я с тех пор это дело крепко усвоил. А вот в статье из Вики используется $\oplus$,

вообще -то $+$ и $\oplus$ это просто разные вещи

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603557 писал(а):

то тогда всегда пользоваться тем же значком, что и для декартова произведения, для прямой суммы пространств!

А вот здесь надо быть осторожнее. В общем случае $\prod_{i \in I} X_i \not\cong \sum_{i \in I} X_i$. Изоморфизм имеет место лишь для конечных $I$ (а также для случая, когда $I$ бесконечно, но лишь конечное число $X_i$-ых отлично от $\{ 0 \}$).

Но если работаете с конечными суммами, то да, можно смешивать.

-- Пн авг 06, 2012 23:24:17 --

Oleg Zubelevich в сообщении #603559 писал(а):

вообще -то $+$ и $\oplus$ это просто разные вещи

Согласен. Я всего лишь заметил, что тот, кто писал статью в Википедии, плохо осознавал этот факт.

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

И ещё должен заметить, что у Вас в рассуждениях есть некоторая некорректность. Вы считаете, что $\mathbb{R}$ - подпространство в $\mathbb{R}^2$. Формально это не так. Хотя, конечно, можно зафиксировать некоторое изоморфное вложение $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}^2$ и отождествлять $\mathbb{R}$ с образом этого вложения.

Ну да, тут подразумевается, что никакого $\mathbb{R}^3$ у нас нет, а "объемлющее" пространство - это $\mathbb{R}^2$ и есть, так что $\mathbb{R}^1$ некуда деваться просто

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

А вот тут уже можно крутить по разному. Например, начать отождествлять как $\mathbb{R}$, так и $\mathbb{R}^2$ с некоторыми подпространствами в $\mathbb{R}^3$. И тогда значение $\mathbb{R} + \mathbb{R}^2$ может оказаться равным как $\mathbb{R}^2$, так и $\mathbb{R}^3$, всё зависит от конкретных отождествляющих вложений.

Ага. Вот тут уже чётко отличие видно, согласен!

[Oleg Zubelevich]

Меня учили, что если $X$ и $Y$ -- подпространства $Z$ то $X+Y=\{x+y\in Z|x\in X,\quad y\in Y\}$ -- сумма. При этом $X\oplus Y$ -- прямая сумма это сумма подпространств для которых $X\cap Y=\{0\}$.


Прямую сумму $X\oplus Y$ можно определить для любых пространств беря в качестве $Z=X\times Y$.

[Профессор Снэйп]

Ну да, ясно. Хотя всё равно некоторая путаница есть... Ну да ладно, мы то всё понимаем

Хочу выразить благодарность Oleg Zubelevich за эту тему. Благодаря ей я наконец-то разобрался с тем, что такое тензорное произведение

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603548 писал(а):

А внутренняя прямая сумма $X + Y$ рассматривается только тогда [...] и $X \cap Y = \{ 0 \}$.

Не обязательно же, кстати, замечу. Вы же сами рассматриваете в примере $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{R}$ и как подпространства, когда одно полностью содержит другое, и как подпространства $\mathbb{R}^3$, которые пересекаются только по нулю.

Профессор Снэйп в сообщении #603548 писал(а):

А внутренняя прямая сумма $X + Y$ рассматривается только тогда, когда $X, Y$ - подпространства в некотором пространстве $Z$

Ну, если $X$ и $Y$ - линейные конечномерные пространства над одним и тем же полем, то всегда же можно отождествить их с некоторыми подпространствами координатного пространства достаточно большой размерности (Хватит и $\operatorname{dim}(X \oplus Y)$). Так что "складывать" их как подпространства некоторого объемлющего пространства тоже можно всегда, другое дело, что в зависимости от расположения относительно друг друга отождествлённых пространств, могут получаться подпространства различной размерности.

Профессор Снэйп в сообщении #603568 писал(а):

Хочу выразить благодарность Oleg Zubelevich за эту тему. Благодаря ей я наконец-то разобрался с тем, что такое тензорное произведение

Ога. Неожиданно хороший топик. Благодаря ему, я наконец-то узнал, что такое тензорное произведение

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #603553 писал(а):

И, вообще-то, по уму, понятия прямой суммы, произведения и тензорного произведения надо определять в категорных терминах, через универсальные объекты. Это будет наиболее логично, красиво и правильно.

А где такие определения прочитать, и самое главное, комментарии к ним, чтобы понять?

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603571 писал(а):

Не обязательно же, кстати, замечу.

Обязательно. В смысле сумма расматривается для подпространств $X$, $Y$ с произвольным пересечением, но прямой суммой она называется лишь тогда, когда пересечение нулевое. Если же оно не нулевое, то сумма - просто сумма, а никакая не прямая.

-- Пн авг 06, 2012 23:58:56 --

Munin в сообщении #603578 писал(а):

А где такие определения прочитать, и самое главное, комментарии к ним, чтобы понять?

Серж Ленг, "Алгебра". Второй раз уже сегодня эту книжку рекламирую!

[Mathusic]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #603582 писал(а):

Mathusic в сообщении #603571 писал(а):

Не обязательно же, кстати, замечу.

Обязательно. В смысле сумма расматривается для подпространств $X$, $Y$ с произвольным пересечением, но прямой суммой она называется лишь тогда, когда пересечение нулевое. Если же оно не нулевое, то сумма - просто сумма, а никакая не прямая.

А, ну-да. Но у меня всё правильно. Я-то прямой суммой называл любую сумму

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #603558 писал(а):

В категорных терминах всё красиво, чётко и не содержит никаких двусмысленностей. Мне очень нравится

Мне тоже. Только есть один недостаток -- надо сначала догадаться, чему равно $X\otimes Y$, а потом уже доказать универсальность. Но в данном примере это очевидно.

-- Вт авг 07, 2012 10:56:22 --

Munin в сообщении #603578 писал(а):

А где такие определения прочитать, и самое главное, комментарии к ним, чтобы понять?

Пусть $\varphi \colon X\times Y\to Z$ -- билинейное отображение. Если оно универсально в следующем смысле: для любого билинейного $\psi \colon X\times Y\to W$ существует единственное линейное $f\colon Z\to W$ такое, что $\psi=f\circ\varphi$, то $Z$ называется тензорным произведение $X$ и $Y$.

$$ \xymatrix{ X\times Y \ar[r]^-\varphi \ar[rd]_-\psi & Z \ar@{-->}[d]^-f \\ & W } $$

Если $Z_1$, $Z_2$ -- два тензорных произведения, и $\varphi_1,\varphi_2$ -- соответствующие универсальные билинейные отображения $\varphi_i\colon X\times Y\to Z_i$, $i=1,2$, то существует единственный линейный изоморфизм $f\colon Z_1\to Z_2$ такой, что $\varphi_2=f\circ\varphi_1$

$$ \xymatrix{ & & Z_1 \ar@{-->}[dd]^-f \\ X\times Y \ar[rru]^-{\varphi_1} \ar[rrd]_-{\varphi_2} & & \\ & & Z_2 } $$

$\varphi(x,y)$ обозначается $x\otimes y$.

И да, самое главное, тензорное произведение существует для любых двух пространств $X,Y$ ( явно конструируется).

Мне понравилось изложение этих понятий в книге Н. Бурбаки Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. ( Глава III Полилинейная алгебра). Правда они там модули над кольцами рассматривают, а не векторные пространства, но это все равно.

[Oleg Zubelevich]

Я бы предложил альтернативное определение тензорного произведения.

Рассмотрим пространство $Z$ билинейных функционалов $f:X^*\times Y^*\to\mathbb{R}$. Тензорным произведением пространств $X,Y$ называется линейная оболочка элементов $x\otimes y\in Z,\quad (x\otimes y)(u,v)=u(x)v(y),\quad u\in X^*,\quad v\in Y^*.$
Вроде бы это эквивалентно стандартному? (разумеется речь не идет о конечномерных пространствах -- там все очевидно)

[Padawan]

Нет, в бесконечномерном не эквивалентно. На форуме я с Xaositect это обсуждал где-то. Вот http://dxdy.ru/post371695.html#p371695

[Oleg Zubelevich]

читайте внимательно, мое определение не совпадает с определением Xaositect

[Padawan]

Oleg Zubelevich
А , да, вы не все $Z$ берете. Извиняюсь. Тогда вроде да.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #603667 писал(а):

Пусть $\varphi \colon X\times Y\to Z$ -- билинейное отображение. Если оно универсально в следующем смысле: для любого билинейного $\psi \colon X\times Y\to W$ существует единственное линейное $f\colon Z\to W$ такое, что $\psi=f\circ\varphi$, то $Z$ называется тензорным произведение $X$ и $Y$.

$$ \xymatrix{ X\times Y \ar[r]^-\varphi \ar[rd]_-\psi & Z \ar@{-->}[d]^-f \\ & W } $$

поясняющий комментарий:

$$f\Big(\sum_i x_i\otimes y_i\Big) =\sum_i\psi(x_i,y_i) $$