Задачи из Любича и Глазмана

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #603439 писал(а):

Докажите, что однозначно!

Зачем? Задача этого не требует.

Oleg Zubelevich в сообщении #603439 писал(а):

Вспоминаем линейные уравнения, убеждаемся, что эта система имеет не только нулевое решение относительно $\lambda_i$.

Вот именно. А если в курсе линейных уравнений пока ещё не было?...

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #603440 писал(а):

эти векторы линейно независимы и б) их количество максимально возможно.

а чем это отличается от того, что я сказал?

ewert в сообщении #603443 писал(а):

А если в курсе линейных уравнений пока ещё не было?...

а не надо учить теорию линейных пространств прежде метода Гаусса

-- Пн авг 06, 2012 15:22:49 --

kw_artem в сообщении #603441 писал(а):

Еще одна задача показалась интересной -- доказательство что любая конечная система векторов содержит базисную (т.е. полную и линейно независимую подсистему). Доказательство не перекликается с теорией множеств (цепями, мажорантами, леммой Куратовского-Цорна)?

найдите максимальную л.независимую подсистему, лемма Цорна для этого не нужна

[ewert]

kw_artem в сообщении #603441 писал(а):

Еще одна задача показалась интересной -- доказательство что любая конечная система векторов содержит базисную (т.е. полную и линейно независимую подсистему).

А вот это как раз легко. Пусть $x_1,x_2,\ldots,x_r$ линейно независимы, а любой поднабор из большего количества уже линейно зависим. После добавления к этим векторам $x_{r+1}$ получим, что некоторая нетривиальная их комбинация обращается в ноль, причём коэффициент при $x_{r+1}$ заведомо ненулевой (иначе оказались бы зависимыми предыдущие векторы). Следовательно, любой вектор из системы выражается через те $r$ векторов.

kw_artem в сообщении #603441 писал(а):

Доказательство не перекликается с теорией множеств (цепями, мажорантами, леммой Куратовского-Цорна)?

Нет, это как-то из пушки по воробьям.

[kw_artem]

ewert в сообщении #603454 писал(а):

А вот это как раз легко. Пусть линейно независимы, а любой поднабор из большего количества уже линейно зависим. После добавления к этим векторам получим, что некоторая нетривиальная их комбинация обращается в ноль, причём коэффициент при заведомо ненулевой (иначе оказались бы зависимыми предыдущие векторы). Следовательно, любой вектор из системы выражается через те векторов.

доказывал почти так же, только др. словами (использовал минимальность)

ewert в сообщении #603454 писал(а):

найдите максимальную л.независимую подсистему, лемма Цорна для этого не нужна

ewert в сообщении #603454 писал(а):

Нет, это как-то из пушки по воробьям.

Понимаю что возможно как кувалдой, просто ради интереса! с т.зрения теории множеств это то же, что мы задаем семейство всех линейно независимых подсистем, потом упорядочиваем семейство по включению их лин. оболочек, и т.д. в итоге получается доказать ту теорему -- то же что доказать что семейство имеет хотя бы один максимальный элемент. (у каждой цепи есть однозначно мажоранта, т.е. семейство -- индуктивное множество , и применяем лемму). я прав?

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #603446 писал(а):

а чем это отличается от того, что я сказал?

Из Вашего варианта определения не следует, что количество таких векторов максимально возможно. Т.е. гипотетически можно было бы представить случай, когда, скажем, Вы нашли три независимых вектора, при добавлении к которым любого другого получается зависимость, и в то же время существует четыре совсем других независимых векторов. Кроме того, само существование Вашего набора надо как-то обосновывать. В моём же варианте ничего обосновывать не надо: мы просто называем пространство конечномерным, если количества линейно независимых векторов ограничены сверху, и называем размерностью пространства максимальное из этих количеств; после чего уже переходим к понятию базиса.

[svv]

kw_artem
У Вас есть $m$ векторов $(x_i)$, порождающих линейную оболочку, а также $m+1$ векторов $(y_k)$, принадлежащих линейной оболочке, т.е.
$y_k=\sum\limits_{i=1}^m c_{ik}x_i$
Запишем $c_{ik}$ в виде матрицы. Ваша задача теперь может быть сформулирована так: доказать, что в матрице $m\times(m+1)$ столбцы линейно зависимы.

И как это доказать?

Прочитайте в книге Ефимова, Розендорна лемму о базисном миноре. Лишь тогда наступит полное и окончательное удовлетворение.

[ewert]

kw_artem в сообщении #603458 писал(а):

я прав?

Не знаю, не вникал. В любом случае Вы не правы в том отношении, что лемма Цорна -- вещь несколько сомнительная, и правила приличия требуют её всячески избегать (т.е. использовать только тогда, когда без неё уж никак).

-- Пн авг 06, 2012 16:43:19 --

svv в сообщении #603461 писал(а):

Прочитайте в книге Ефимова, Розендорна лемму о базисном миноре. Лишь тогда наступит полное и окончательное удовлетворение.

Не факт. Я Ефимова-Розендорна не помню, но говорить о ранге матрицы прежде, чем будут введены линейные пространства -- как-то безыдейно.

[kw_artem]

svv в сообщении #603461 писал(а):

И как это доказать?

ewert в сообщении #603463 писал(а):

но говорить о ранге матрицы прежде, чем будут введены линейные пространства -- как-то безыдейно.

но если через ранг, то понятно что доказать неравенство $r\leq m$ предварительно транспонировав матрицу (а то как-то неудобно $m+1$ столбцов)

[svv]

Интересно, что не прежде.
Лемма о базисном миноре — параграф 5.
Ранг матрицы — параграф 7.
(Ефимов, Розендорн. Линейная алгебра и многомерная геометрия. Третье издание, 2004 год)

[kw_artem]

svv в сообщении #603467 писал(а):

Интересно, что не прежде.
Лемма о базисном миноре — параграф 5.

сейчас гляну

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #603459 писал(а):

Из Вашего варианта определения не следует, что количество таких векторов максимально возможно. Т.е. гипотетически можно было бы представить случай, когда, скажем, Вы нашли три независимых вектора, при добавлении к которым любого другого получается зависимость, и в то же время существует четыре совсем других независимых векторов

так это уже теорема, что в каждой максимальной линейно независимой системе количество векторов одинаковое

[ewert]

Дело в том, что минор тут сам по себе совершенно не при чём. Он нужен лишь для того, чтобы даром получить как следствие равенство количества линейно независимых строк и линейно независимых столбцов. Однако минор (вообще определитель) -- понятие весьма нетривиальное, оно гораздо сложнее, чем вопросы, связанные с базисами и размерностями.

-- Пн авг 06, 2012 16:55:17 --

Oleg Zubelevich в сообщении #603470 писал(а):

так это уже теорема, что в каждой максимальной линейно независимой системе количество векторов одинаковое

Нет, подождите: а откуда следует, что такое понятие "максимальной линейно независимой системы" (для бесконечного множества векторов, а не для конечного их набора) вообще корректно?

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #603473 писал(а):

Нет, подождите: а откуда следует, что такое понятие "максимальной линейно независимой системы" (для бесконечного множества векторов, а не для конечного их набора) вообще корректно?

в каком смысле корректно?

[svv]

В процессе доказательства леммы о базисном миноре автоматически получается требуемая линейная комбинация столбцов, равная нулю (с коэффициентами, не все из которых равны нулю).

Когда смотришь на явно записанную линейную комбинацию столбцов (=векторов $y$), равную нулю, верится, что векторы линейно зависимы. Пока не видишь такой линейной комбинации — грызут сомнения.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #603477 писал(а):

в каком смысле корректно?

В том смысле: откуда следует, что такой набор вообще существует?

Понимаете, максимально возможное количество независимых векторов вообще -- вещь, существующая заведомо: такое количество для любого пространства или конечно, или бесконечно, вот мы заранее и ограничиваемся первым случаем. Я не говорю, что Ваш вариант определения не сработает, он просто неэстетично выглядит. И в любом случае не избавляет от необходимости решать стартовую задачку или нечто похожее. И в любом случае именно эта задача является ключевой в рассматриваемом круге вопросов -- все остальное доказывается уже более-менее банально.