Задачи из Любича и Глазмана

[kw_artem]

Здравствуйте, форумчане!
Решил изучать функциональный анализ. Но начал с простого, с конечномерного случая,-- книги(задачника-учебника) Любича и Глазмана "Конечномерный линейный анализ",-- что б иметь возможность сравнить с бесконечномерным.

Возник вопрос по одной задаче. Требуется доказать, что любые $m+1$ векторов из линейной оболочки (лин. оболочка $X$ обозначается $L(X)$) системы (векторов) $\{x_k\}\limits_1^m$ являются линейно зависимыми. Смутило то, что авторы намекают использовать при доказательстве следующую теорему:

Цитата:

Пусть $H=\{x_k\}\limits_1^m\:(m>1)$ -- какая угодно система векторов и $H_1=\{x_k\}\limits_1^{m-1}$. Если $u, v \in L(H)$, но $v\not\in L(H_1)$, то найдется такое $\alpha$, что $u-\alpha v\in L(H_1)$.

Разве нельзя проще доказать? А именно, $m+1$ векторов взяты из лин. оболочки, а значит каждый является линейной комбинацией векторов $\{x_k\}\limits_1^{m}$. Тогда можно найти такой вектор из $m+1$ векторов, который является линейной комбинацией оставшихся $m$.

[Профессор Снэйп]

kw_artem в сообщении #603412 писал(а):

Требуется доказать, что любые $m+1$ векторов из линейной оболочки (лин. оболочка $X$ обозначается $L(X)$) системы (векторов) $\{x_k\}\limits_1^m$ являются линейно зависимыми.

В условие глубоко не вникал, но вот эта фраза показалась очень странной!

[kw_artem]

Вроде интуитивно очевидная! Хорошо, вот фраза из книги:

Цитата:

Любые $m+1$ векторов из линейной оболочки системы векторов $\{x_k\}\limits_1^m$ линейно зависимы.

[Oleg Zubelevich]

Выбираем максимальную линейно независимую подсистему в $\{x_i\}$

[Профессор Снэйп]

А, то есть мы берём линейную оболочку $m$ векторов и нам надо показать, что любые $m+1$ векторов, взятых из этой линейной оболочки, обращаются в ноль нетривиальной линейной комбинацией.

Так это же очевидно! Размерность линейной оболочки будет $\leqslant m$. Зачем там что-то "доказывать"?

[ewert]

kw_artem в сообщении #603412 писал(а):

Тогда можно найти такой вектор из $m+1$ векторов, который является линейной комбинацией оставшихся $m$.

Откуда это следует?

-- Пн авг 06, 2012 15:49:04 --

Профессор Снэйп в сообщении #603421 писал(а):

Так это же очевидно! Размерность линейной оболочки будет $\leqslant m$. Зачем там что-то "доказывать"?

А ровно в этом задача и состоит, и она не тривиальна. А вот как это доказывать -- зависит от построения курса.

-- Пн авг 06, 2012 15:53:39 --

Oleg Zubelevich в сообщении #603418 писал(а):

Выбираем максимальную линейно независимую подсистему в $\{x_i\}$

Это ещё ничего не доказывает. Вы лишь свели задачу к случаю, когда исходные иксы линейно независимы. Но и в этом случае она не тривиальна.

[kw_artem]

Профессор Снэйп в сообщении #603421 писал(а):

Это не по функану задача, а по линейной алгебре (конечномерной)

Знаю, судя по предисловию книги: сначала идет линейная алгебра потом функан втиснутый в рамки конечномерных пространств

Профессор Снэйп в сообщении #603421 писал(а):

Размерность линейной оболочки будет .

размерность кар раз вводится после этого (и еще одной теоремы) доказательства!

ewert в сообщении #603422 писал(а):

Откуда это следует?

этот тоже записывается через $m$ векторов, обр. оболочку, и оставшиеся $m$ векторов записываются. т.е. можно выразить этот вектор через другие
попробовать расписать?

[ewert]

kw_artem в сообщении #603425 писал(а):

этот тоже записывается через $m$ векторов, обр. оболочку, и оставшиеся $m$ векторов записываются. т.е. можно выразить этот вектор через другие

Третье непосредственно из первого и второго не следует, это надо доказывать.

Я ж говорю -- всё зависит от построения курса. Например, это следует из того, что недоопределённая однородная система линейных уравнений всегда имеет ненулевые решения (собственно, Вы неявно на это и ссылаетесь). Но для доказательства этого факта нужно, чтобы уже был, скажем, метод Гаусса.

[Профессор Снэйп]

kw_artem в сообщении #603425 писал(а):

размерность кар раз вводится после этого...

А, ну тогда понятно.

[kw_artem]

ewert в сообщении #603428 писал(а):

Я ж говорю -- всё зависит от построения курса. Например, это следует из того, что недоопределённая однородная система линейных уравнений всегда имеет ненулевые решения (собственно, Вы неявно на это и ссылаетесь). Но для доказательства этого факта нужно, чтобы уже был, скажем, метод Гаусса.

Да Вы правы
Интересно, а можно теорему без метода Гаусса доказать?

[Профессор Снэйп]

kw_artem в сообщении #603412 писал(а):

авторы намекают использовать при доказательстве следующую теорему

Мне кажется, что авторы правы на все 100 процентов. Если у нас ещё нет понятия размерности, то именно так и надо делать, как они советуют.

[kw_artem]

Профессор Снэйп в сообщении #603434 писал(а):

Мне кажется, что авторы правы на все 100 процентов. Если у нас ещё нет понятия размерности, то именно так и надо делать, как они советуют

Все понял! понял в чем ошибся

[Oleg Zubelevich]

ewert в сообщении #603422 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #603418 писал(а):
Выбираем максимальную линейно независимую подсистему в $\{x_i\}$

Это ещё ничего не доказывает. Вы лишь свели задачу к случаю, когда исходные иксы линейно независимы. Но и в этом случае она не тривиальна.

Я не доказывал, я подсказывал. И так допустим система $\{x_1,\ldots,x_k\}$ -- максимальная линейно-екзависимая. Тогда остальные иксы выражаются через нее. И поэтому вообще все векторы линейной оболочки выражаются через нее. Докажите, что однозначно!

Пусть теперь $y_1,\ldots,y_p$ -- набор векторов причем $p>k$. Покажем, что он линейно зависим. Действительно,
$\lambda^iy_i=0$ (по повторяющимся индексам идет суммирование $\lambda^i$ -- числа , сверху -- индекс а не степень). При этом $y_j=a_j^nx_n$ и отсюда $\lambda^ja_j^n=0$. Вспоминаем линейные уравнения, убеждаемся, что эта система имеет не только нулевое решение относительно $\lambda_i$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #603429 писал(а):

всего проще действовать так: пространство называется конечномерным если в нем существует конечная система векторов, которая 1) линейно независима 2) при добавлении к ней любого вектора делается линейно зависимой.

Совсем просто по-любому не выйдет. Фактически Вы предложили вариант определения базиса (не самый уклюжий, надо сказать): это такой набор, что он а) линейно независим и б) любой другой вектор через них выражается. Но есть и другие эквивалентные определения, например:

а) любой вектор через них выражается, причём б) единственным образом;

или:

а) эти векторы линейно независимы и б) их количество максимально возможно.

Оптимально последнее определение -- в том смысле, что корректность такого определения не надо доказывать. Корректность остальных двух вариантов (и других комбинаций, которые можно придумать) доказывать нужно, и нужно доказывать их эквивалентность, поскольку все они нужны. Вот где-то в этой цепочке доказательств данная задача и сидит, а что за цепочка -- зависит от курса.

[kw_artem]

Еще одна задача показалась интересной -- доказательство что любая конечная система векторов содержит базисную (т.е. полную и линейно независимую подсистему). Доказательство не перекликается с теорией множеств (цепями, мажорантами, леммой Куратовского-Цорна)?