Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

[Ktina]

(заранее прошу прощения за тупой вопрос)

Как с помощью интеграла доказать, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$?
От какой именно функции нужно брать интеграл и какими должны быть его пределы?

[alcoholist]

половина окружности -- график понятно какой функции

-- Пн авг 06, 2012 12:34:13 --

а можно и по-тупому:

$$ L=\int_0^{1}|\dot{r}(t)|\,dt, $$

где параметризация очевидна

[Ktina]

alcoholist в сообщении #603356 писал(а):

половина окружности -- график понятно какой функции

$$ \begin{cases} x=R\cos t \\ y=R\sin t \end{cases} $$

Вы это имели в виду?

[Mathusic]

alcoholist в сообщении #603356 писал(а):

половина окружности -- график понятно какой функции

А можно сначала найти площадь через интеграл $\pi r^2$ (что даже почти школьными методами) от той самой понятно какой функции, а потом продифференцировать площадь по радиусу и получить длину окружности (предварительно доказав, что это так) - тоже через интеграл будет

[kopern1k]

$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

[Mathusic]

kopern1k в сообщении #603368 писал(а):

$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

Тогда уже лучше так, если в полярных: $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{r d\varphi}$

[Профессор Снэйп]

$$ l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}} $$

-- Пн авг 06, 2012 16:13:07 --

Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем. Ну то есть интегрируем от $0$ до $2\pi$. При этом угол $\pi$ возникает из длины окружности, которую мы ищем и, как вроде бы предполагается, ещё не знаем!

-- Пн авг 06, 2012 16:14:24 --

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):

$$ l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}} $$

Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

Какой-то странный у вас интеграл Да и площадь странная получается

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):

А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем.

А в декартовых координатах оно через тригонометрию вылезет всё равно

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины

Поэтому с длиной окружности вообще париться не надо: определили $\pi$ как $\frac{c}d$ и всё -- формула есть. Если уже париться - то с площадью

[Профессор Снэйп]

Mathusic в сообщении #603385 писал(а):

Какой-то странный у вас интеграл

Почему странный? Если дана дифференцируемая фукнкция $f : [a,b] \to \mathbb{R}$, то длина её графика равна $\int_a^b f'(x) dx$. Разве не так? Ну вот я и беру функцию $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, потом дифференцирую.

-- Пн авг 06, 2012 16:44:14 --

Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал

-- Пн авг 06, 2012 16:47:12 --

Длина дуги будет равна

$$ \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx $$

Мне очень стыдно

[gris]

Мне кажется, что это приближённая формула для функций с большой производной

[Munin]

Да, длина графика $\int\sqrt{1+f'^2}\,dx.$

Кстати, а вот как правильно писать: $f'^2(x)$ или $f'(x)^2$? А то для тригонометрических функций принято квадрат ставить над символом функции (кстати, в англо-американских обозначениях это ещё и уживается с обозначениями арк-функций $\sin^{-1}$).

[Профессор Снэйп]

Правильный интеграл будет выглядеть так:

$$ l = 2R \int\limits_{-R}^R \frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}} $$

[Munin]

Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):

Мне очень стыдно

Хочу вас подбодрить. Благодаря вашему подвигу, теперь другим ошибаться будет не так стыдно. Доброе дело сделали :-)

[Mathusic]

Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):

Почему странный?

Ну, даже если не замечать, что функцию сначала продифференцировали, а потом под интеграл водрузили, сразу видно, что подынтегральная функция нечётна, а интервал симметричный...

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):

Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал

Бывает

Вообще, да, желание непременно вычислить длину окружности через интеграл - странно: порочные круги возникают .
Площадь естественнее как-то.

[Munin]

(Оффтоп)

Цитата:

Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

Формулировка не обязательно предполагает, чтобы интеграл вычисляли... :-) Может быть, она намекает на неожиданное решение, типа

Цитата:

Как с помощью настольной лампы и очков определить коэффициент преломления стекла?
Ответ. Включи лампу, надень очки и посмотри в справочник.