2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:30 
Аватара пользователя
(заранее прошу прощения за тупой вопрос)

Как с помощью интеграла доказать, что длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$?
От какой именно функции нужно брать интеграл и какими должны быть его пределы?

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:32 
Аватара пользователя
половина окружности -- график понятно какой функции

-- Пн авг 06, 2012 12:34:13 --

а можно и по-тупому:
$$
L=\int_0^{1}|\dot{r}(t)|\,dt,
$$
где параметризация очевидна

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:40 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #603356 писал(а):
половина окружности -- график понятно какой функции

$$
\begin{cases}
x=R\cos t \\
y=R\sin t
\end{cases}
$$
Вы это имели в виду?

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:43 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #603356 писал(а):
половина окружности -- график понятно какой функции

А можно сначала найти площадь через интеграл $\pi r^2$ (что даже почти школьными методами) от той самой понятно какой функции, а потом продифференцировать площадь по радиусу и получить длину окружности :shock: (предварительно доказав, что это так) - тоже через интеграл будет :D

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 12:57 
$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:06 
Аватара пользователя
kopern1k в сообщении #603368 писал(а):
$l = 2R\int_{0}^{\pi}{d\varphi}$

Тогда уже лучше так, если в полярных: $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}{r d\varphi}$ :?

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:10 
Аватара пользователя
$$
l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}}
$$

-- Пн авг 06, 2012 16:13:07 --

Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем. Ну то есть интегрируем от $0$ до $2\pi$. При этом угол $\pi$ возникает из длины окружности, которую мы ищем и, как вроде бы предполагается, ещё не знаем!

-- Пн авг 06, 2012 16:14:24 --

Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины :-)

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:35 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
$$
l = 2 \int_{-R}^R \frac{x\, dx}{\sqrt{R^2 - x^2}}
$$
Это наиболее тупой способ, через декартовы координаты.

Какой-то странный у вас интеграл :shock: Да и площадь странная получается :D


Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
А через полярные мне не нравится то, что мы там $\pi$ используем.

А в декартовых координатах оно через тригонометрию вылезет всё равно :!:

Профессор Снэйп в сообщении #603373 писал(а):
Вообще, как мы определяем число $\pi$? Если как половину длины окружности единичного радиуса, то мы не имеем право его использовать при нахождении длины :-)

Поэтому с длиной окружности вообще париться не надо: определили $\pi$ как $\frac{c}d$ и всё -- формула есть. Если уже париться - то с площадью :-)

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:43 
Аватара пользователя
Mathusic в сообщении #603385 писал(а):
Какой-то странный у вас интеграл

Почему странный? Если дана дифференцируемая фукнкция $f : [a,b] \to \mathbb{R}$, то длина её графика равна $\int_a^b f'(x) dx$. Разве не так? Ну вот я и беру функцию $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, потом дифференцирую.

-- Пн авг 06, 2012 16:44:14 --

Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал :oops:

-- Пн авг 06, 2012 16:47:12 --

Длина дуги будет равна
$$
\int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx
$$
Мне очень стыдно :oops:

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:48 
Аватара пользователя
Мне кажется, что это приближённая формула для функций с большой производной :-)

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:48 
Аватара пользователя
Да, длина графика $\int\sqrt{1+f'^2}\,dx.$

Кстати, а вот как правильно писать: $f'^2(x)$ или $f'(x)^2$? А то для тригонометрических функций принято квадрат ставить над символом функции (кстати, в англо-американских обозначениях это ещё и уживается с обозначениями арк-функций $\sin^{-1}$).

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:50 
Аватара пользователя
Правильный интеграл будет выглядеть так:
$$
l = 2R \int\limits_{-R}^R \frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}
$$

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:50 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Мне очень стыдно

Хочу вас подбодрить. Благодаря вашему подвигу, теперь другим ошибаться будет не так стыдно. Доброе дело сделали :-)

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 13:56 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Почему странный?

Ну, даже если не замечать, что функцию сначала продифференцировали, а потом под интеграл водрузили, сразу видно, что подынтегральная функция нечётна, а интервал симметричный... :D

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #603391 писал(а):
Ой, похоже я какую-то глупость страшную написал :oops:

Бывает :mrgreen:


Вообще, да, желание непременно вычислить длину окружности через интеграл - странно: порочные круги возникают :? .
Площадь естественнее как-то.

 
 
 
 Re: Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?
Сообщение06.08.2012, 14:38 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Цитата:
Как с помощью интеграла доказать формулу длины окружности?

Формулировка не обязательно предполагает, чтобы интеграл вычисляли... :-) Может быть, она намекает на неожиданное решение, типа
    Цитата:
    Как с помощью настольной лампы и очков определить коэффициент преломления стекла?
    Ответ. Включи лампу, надень очки и посмотри в справочник.

 
 
 [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group