Разбиение единичного отрезка (ТурГор)

[Ktina]

Отрезок единичной длины разбили на одиннадцать отрезков, длина каждого из которых не превосходит $a$. При каких значениях $a$ можно утверждать, что из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник?

[Shadow]

$a \in \left[\frac {1}{11};\frac{1}{10}\right]$
?

[Ktina]

Shadow в сообщении #603075 писал(а):

$a \in \left[\frac {1}{11};\frac{1}{10}\right]$
?

А почему у Вас "включительно"?

[Ktina]

Shadow в сообщении #603075 писал(а):

$a \in \left[\frac {1}{11};\frac{1}{10}\right]$
?

Если $a\ge\frac{1}{10}$, то контрпримером служат два отрезка по $\frac{1}{20}$ и ещё 9 отрезков по $\frac{1}{10}$

Докажем, что при $a<\frac{1}{10}$ из любых трёх получившихся отрезков можно составить треугольник.
Пусть это не так. Тогда сумма двух наименьших отрезков не больше наибольшего. Но наибольший отрезок короче, чем $\frac{1}{10}$.
Пусть длины получившихся 11 отрезков равны $b_1\le b_2\le b_3\le\dots\le b_{11}$
Так как

$$\begin{cases} b_{11}<\frac{1}{10} \\ b_1+b_2<b_{11}\\ \end{cases}$$

, сумма всех 11 отрезков меньше единички.
Пришли к противоречию.

Как-то так...