Тригонометрия и арифметическая прогрессия

[Keter]

Найти все значения параметра $a$ при каждом из которых уравнение $\cos 2x -2a \sin x - |2a-1|+2=0$ имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.

Преобразовал уравнение: $2 \sin^2 x + 2a \sin x + |2a-1| -3 = 0$

Для $a > \frac{1}{2}$ имеем $\sin^2 x + a \sin x + a - 2 = 0, \quad D=a^2-4a+8=(a-2)^2 +4$

$\sin x = \dfrac{-a \pm \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2}$

$-2 \le -a + \sqrt{(a-2)^2 +4} \le 2 \Rightarrow a \ge 2$

$-2 \le -a - \sqrt{(a-2)^2 +4} \le 2 $ - нет решений

Если $a \ge 2$, то $\sin x = \frac{-a + \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2}, \quad x=(-1)^k \arcsin \Big( \frac{-a + \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2} \Big) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Для $a \le \frac{1}{2}$ имеем $\sin^2 x + a \sin x - (a + 1) = 0, \quad D=(a+2)^2$

$\sin x = \dfrac{-a \pm (a+2)}{2} = \{ -1; -(a+1) \}$

$\sin x = -1 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi}{2}+\pi n$

$-1 \le a+1 \le 1 \Rightarrow a \in [ -2; 0 ]$

Если $a \in [ -2; 0 ]$, то $x = - \dfrac{\pi}{2}+\pi n$ или $x=(-1)^{m+1} \arcsin (a+1) +\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

Если $x \in ( - \infty; -2) \cup (0; \frac{1}{2} )$, то $x = - \dfrac{\pi}{2}+\pi n \quad n \in \mathbb{Z}$

Если выше все правильно, то как отбирать корни, чтобы положительные значения образовали арифметическую прогрессию?

$a \in (-\infty; -2) \cup (0; 0,5), \quad x=- \dfrac{\pi}{2}+\pi n \quad n \in \mathbb{Z}$

$a \in [-2; 0], \quad x= - \dfrac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=(-1)^{m+1} \arcsin (a+1) +\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$a \in [2; + \infty), \quad x=(-1)^k \arcsin \Big( \frac{-a + \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2} \Big) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

[Someone]

Если $a$, $b$, $c$ - последовательные члены арифметической прогрессии, то $a+c=2b$.

[Keter]

Еще раз перепишу решения с поправками (в первом сообщении есть ошибки):

$a \in (-\infty; -2) \cup (0; \frac{1}{2} ], \quad x= \dfrac{\pi}{2}+\pi n \quad n \in \mathbb{Z}$

$a \in [-2; 0], \quad x= \dfrac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=(-1)^{m+1} \arcsin (a+1) +\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$

$a \in [2; + \infty), \quad x=(-1)^{k+1} \arcsin \Big( \frac{a - \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2} \Big) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Все таки не могу до конца разобраться с задачей. В условии просят, чтобы ВСЕ положительные решения образовывали арифметическую прогрессию. Часто прослеживаются решения типа $\frac{\pi}{2}+\pi q$.

Положительные решения будут при всех $n \in \mathbb{Z}^{+} \cup \{ 0 \}$ и $m, k \in \mathbb{Z}^{+}$

Также $\forall a \in [-2; 0] \quad \arcsin (a+1) \in \Big[ \frac{\pi}{2}; \frac{3 \pi}{2} \Big]$ и $\forall a \in [2; + \infty] \quad \arcsin \Big( \frac{a - \sqrt{(a-2)^2 +4}}{2} \Big) \in \Big( \frac{\pi}{2}; \pi \Big]$

Тогда я сделал вывод, что арифметическая прогрессия из положительных решений образуется при

$$a \in \Big( - \infty; -2 \Big] \cup \Big[ 0; \frac{1}{2} \Big] \cup \{ 2 \}$$

Правильно ли это?

-- 05.08.2012, 13:22 --

Меня смущает лишь промежуток $a \in (-2; 0)$

[gris]

У Вас ошибка, которая, кстати, даёт видимость решения при $a=-1$. Тогда бы мы имели прогрессию $x=\dfrac {k\pi}2$

Но уравнение $\sin x=1$ имеет корни $x=\dfrac {\pi}2+2k\pi$. Два ка пи.

И прогрессия в этом интервале может получиться только при $a=0$ или $a=-2$, что у Вас учтено.

[Keter]

gris, страно, что я тупо перепечатывал и не замечал этой оплошности, конечно же $\dfrac{\pi}{2}+2 \pi n$. Но тут вот какой вопрос: ссылка ниже на эту задачу (№ 7), там в ответ включено $a= - \dfrac{1}{2}$, еще там есть решение, выложенное девочкой с ником anarch, но по-моему ее решение столь длинное и непонятное, что в итоге она ответ с потолка взяла, а точнее с уже известного, написанного под заданиями, ответа.

Ссылка на задачу

Ну вот и почему же $a=-\dfrac{1}{2}$ подходит, если там корни получаются $x=\dfrac{\pi}{2}+2 \pi n$ или $x=(-1)^{m+1} \cdot \dfrac{\pi}{6}+\pi m$?

[gris]

Точно. Есть и такое решение. Я на уравнения-то и не смотрел
Вы просто расположите точки на тригонометрическом круге и увидите наглядно. $\sin x=1$ даст ровно одну точку в самом верху. Ещё один синус даст либо одну точку (ту же самую при $a=0$ или в самом низу при $a=-2$).
Но представьте, что две точки может дать и синус, значение которого равно $-1/2$. То есть три точки будут располагаться на окружности под углами $120^{\circ}$, что соответствует прогрессии с разностью $\dfrac {2\pi}3$.
То есть $-(a+1)=-1/2 \Rightarrow a=-1/2$. В интервал попадает.

И ещё. В подобных задачах серии решений лучше выписывать не в компактном виде с $\pm$ или $(-1)^n$, а по сериям, дающим ровно одно значение на периоде. То есть в нашем случае для $a=-0.5$ будет:
$\dfrac {\pi}2+2\pi n;\,\dfrac {7\pi}6+2\pi n;\,\dfrac {11\pi}6+2\pi n$

[Keter]

А как же $a=2$?

[gris]

Так это я только про интервал, о котором Вы спрашивали. С остальными Вы же разобрались.
В общем, с интервалом $[-2;\infty)$ тоже так же. Там один синус даёт на круге две или одну точку.

[Keter]

Может я условие недопонял, но там вроде нужны такие $a$, чтобы все положительные корни образовали прогрессию, а тут получается как бы две прогрессии, одна из трех точек под углом $120$ градусов с разностью $\dfrac{2 \pi}{3}$ (это если не включать $a=2$), а вторая из четырех точек под углом $90$ градусов и с разностью $\dfrac{\pi}{2}$ (если не включать $a=-0,5$) ...

[gris]

Нет. Ещё две прогрессии из двух точек на периоде с разностью $\pi$.
Я саму задачу не решал, смотрел по Вашему решению, всё вроде бы правильно.

При каждом определённом значении $a$ получается некоторое множество положительных решений. Для некоторых $a$ они образуют арифметическую прогрессию. Имеются в виду решения именно для конкретного значения $a$. Да у Вас там ещё ошибки. С той же формулой.

[Keter]

gris, теперь понял, для каждого интервала своя прогрессия Спасибо, наконец-то разобрался.