падение камня с центробежной силой

[Антипка]

peregoudov писал(а):

Виноват, не проверил. Скорее, я имел в виду замечание Munin'а, что третье условие не является независимым, а следует из второго. Я просто по-другому интерпретировал математически условия задачи, так что "переопределенность" исчезла.

Неожиданно для меня самого вы оказались правы. Munin действительно ошибался в том, что тертье условие следует из второго. Т.е. оно действительно следует, но только при предположении об отсутствии сил, вынуждающих систему соблюдать приведенные неголономные связи.

peregoudov писал(а):

А я не пользуюсь лагранжевой механикой со связями. Я рассуждаю по-другому. Пусть заранее известно, как движется неинерциальная система отсчета, то есть переменные , , считаются заданными функциями времени. Тогда мы просто переписываем лагранжиан в новых переменных , и пишем уравнения Лагранжа в неинерциальной системе отсчета. Поэтому их два, как и в инерциальной, связанной с Землей. А уже потом учитываем связи, определяющие движение неинерциальной системы отсчета.Конечно, должно получиться то же самое, что и при использовании уравнений лагранжевой механики со связями.

Ну те же самые уравнения движения, - понятно, что они не могут быть другими, - можно получить гораздо более простым путем. Здесь же идея состояла в том, чтобы применить к системе формализм аналитической механики и посмотреть, что получится. Т.е. в этом смысле Шимпанзе прав - вы решили не ту задачу.

peregoudov писал(а):

Ну, есть одна. Наверное, Вы неправильно написали в уравнениях члены, ответственные за связи. Нужно было дифференцировать уравнения связей по обобщенным координатам, а не по скоростям. Тогда правая часть будет отлична от нуля только во втором уравнении (для ). С учетом связей первое уравнение даст 0=0, а третье и четвертое --- то, что Вы хотели.

Здесь вы в корне неправы, я все написал абсолютно правильно. Дело в том, что все эти уравнения Лагранжа II рода со связями и без таковых выводятся из общего уравнения динамики:
$\sum\limits_{i=1}^n{(\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial\dot q_i }} - \frac{{\partial L}}{{\partial q_i}})\delta q_i=0}$
Это уравнение должно выполняться для любых возможных вариаций обобщенных координат системы ($q_i$). Если число обобщенных координат равно числу степеней свободы системы, то проблем нет - все обобщенные координаты могут быть проварьированы независимо друг от друга, следовательно, общее уравнение динамики распадается на n независимых уравнений Лагранжа II рода. Если же число степеней свободы системы меньше числа обобщенных координат, то вариации уже не будут независимыми. Если система голономна, то все еще остается такой путь: полностью исключить "лишние" координаты из лагранжиана, выразив их через оставшиеся, и составить уравнения "обычным" образом. Если бы в нашей задаче мы могли бы исключить $y_c$ из лагранжиана, то решение было бы намного проще. Для неголономных же систем это невозможно сделать в принципе, поэтому там необходимо получить уравнения связи между вариациями обобщенных координат иным способом. Но из уравнений кинематических неинтегрируемых связей это сделать чрезвычайно легко:
$\left\{ \begin{gathered} \dot x_c + \dot x\cos \varphi = 0 \hfill \\ \dot y_c + \dot x\sin \varphi = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right$
Умножаем все уравнения на $\delta t$, и, учитывая, что $\dot x \cdot \delta t = \delta x,\dot x_c \cdot \delta t = \delta x_c ,\dot y_c \cdot \delta t = \delta y_c$, получаем искомые связи между вариациями координат:
$\left\{ \begin{gathered} \delta x_c + \delta x\cos \varphi = 0 \hfill \\ \delta y_c + \delta x\sin \varphi = 0 \hfill \\ \end{gathered}\right$
Использование множителей связи есть не более чем просто способ дополнить систему уравнений Лагранжа, содержащую больше уравнений, чем число степеней свободы системы, соотношениями между возможными вариациями обобщенных координат.

[peregoudov]

Антипка,

Лагранжевой механики с неголономными связями я не знаю. Когда Вы о ней заговорили, я попытался найти информацию в Интернете, что оказалось для меня неожиданно сложным. Поэтому моя идея основана на трех посылках.

1. Я нашел некий текст ("КРАТКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ НЕГОЛОНОМНОЙ МЕХАНИКИ" А. В. Борисов, И. С. Мамаев), в котором были явно выписаны уравнения Феррерса. Связи в них дифференцировались по координате.

2. Можно представить себе слабо неголономную связь, то есть содержащую малый параметр при скоростях. При равном нулю параметре она переходит в голономную. В уравнении Лагранжа должны тогда остаться члены, соответствующие этой голономной связи. Но тогда, опять-таки, нужно дифференцировать связь по координате.

3. В результате дифференцирования уравнения связи по координате в нашей задаче получаются правильные уравнения движения.

P. S. Из курса механики смутно помню, что связи в дифференциалах пишутся для каких-то виртуальных перемещений и время там вовсе ни при чем. Может быть, Вы здесь ошибаетесь, когда умножаете уравнения связей на $dt$?

[Антипка]

См. учебник: Маркеев А.П. "Теоретическая механика", гл.X, п.4 (с.295 во 2-м издании). Можете найти, например, здесь: http://www.poiskknig.ru/cgi-bin/poisk.cgi?lang=ru&st=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%B5%D0%B5%D0%B2&network=1. Там неголономным системам посвящен целый параграф, - и я делал все именно по Маркееву.

Также смотрите работы Чаплыгина по динамике неголономных систем, он в этом дока был. Даже особые "уравнения Чаплыгина" есть. Также читайте "Теоретическую механику" Аппеля, том 2, ибо он тоже отметился в динамике неголономных систем уравнениями имени себя.

peregoudov писал(а):

P. S. Из курса механики смутно помню, что связи в дифференциалах пишутся для каких-то виртуальных перемещений и время там вовсе ни при чем. Может быть, Вы здесь ошибаетесь, когда умножаете уравнения связей на ?

Нет, это общеупотребимый принцип. Смотрите упомянутые выше книги. Здесь все чисто, да и сама проблема снята - см. мой предыдущий пост, я его существенно дополнил. Дело оказалось в том, что используемые кинематические ограничения неоднозначно определяли систему - камень мог лететь практически по длюбой траектории при соответствующем выборе реакций связи, соответствующих кинематическим ограничениям. Да, да, в теоретической механике та или иная связь, что голономная, что неголономная, всегда предполагает, что существует механизм, "принуждающий" систему к исполнению уравнений этой связи. В нашем случае связь "фиктивная", никаких сил реакции не существует, следовательно наши лямбды (см. уравнения в моем предыдущем посте) должны быть равны 0. Вот и все. именно поэтому у Munin'а при его изначально некорректном подходе первое уравнение получилось правильным.

PS. Во, только сейчас нашел для вас отличную книжку по динамике неголономных систем: Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. Можете забрать, например, отсюда: eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mechanics/theoretical.htm. Сразу открывайте ее на странице 95 и смотрите уравнения 1.16, 1.17 и затем 2.1.

[peregoudov]

Антипка,
спасибо за столь конкретные ссылки. Книги скачал и просмотрел.

Думаю, с дополнительными условиями отсутствия сил реакции Вы правы, хотя мои (не)знания и не дают мне возможности утверждать это категорически.

Впрок я давно уже не читаю, а волнуют меня не неголономные связи, а одна вполне конкретная задача устойчивости. Пусть у нас есть не потенциальная яма, а "потенциальная канава", то есть положение равновесия не является изолированным. Добавим диссипации в систему. Будет ли равновесие устойчивым? Сложность в том, что асимптотически устойчивым оно заведомо не будет, а потому рассмотрение в линейном приближении неприменимо. Известно ли Вам, что по этому поводу говорит теоретическая механика? В принципе можно открыть отдельную тему.

На самом деле меня интересует этот вопрос не для механической системы, а для уравнений в частных производных, причем все множество "положений равновесия" получается из одного "положения равновесия" действием группы Лоренца. Но хотя бы для механической системы что-то понять.