Функции на конечном множестве. Определение операций.

[Grisg]

Рассматриваем все функции $f:(1,2,3) \to (1,2,3) $.
Какие сделанные мной утверждения правильные, какие нет и почему?
Буду очень признателен за помощь.

1. Количество таких функций(отображений) равно количеству перестановок (1,2,3).
2. Дана функция $f_1: f_1(1)=2, f_1(2)=3, f_1(3)=1$. Тогда
$f_1\circ f_1: \{ f_1(f_1(1))=3, f_1(f_1(2))=1,f_1(f_1(3))=2 \} $
$f_1 \circ f_1 \circ f_1:\{ f_1(f_1(f_1(1)))=1, ... \}$
$f_1 \circ f_1 \circ f_1\circ f_1: \{ f_1( f_1(f_1(f_1(1))))=2, ... \}$ и т.д.
так, что для определения, например$ f_1(..n..(f_1(1))) $ получаем циклическую перестановку (2,3,1).

[kw_artem]

все верно! :)

[Mathusic]

Grisg в сообщении #601845 писал(а):

1. Количество таких функций(отображений) равно количеству перестановок (1,2,3).

Нет

[kw_artem]

Mathusic в сообщении #601848 писал(а):

Нет

почему нет? перестановка -- это и есть биекция множества на себя

[Mathusic]

kw_artem в сообщении #601852 писал(а):

перестановка -- это и есть биекция

Согласен. И что отсюда следует?

[kw_artem]

пардон,поспешил, я взял только случай биекции

[Mathusic]

kw_artem в сообщении #601855 писал(а):

пардон,поспешил, я взял только случай биекции

О том и речь. Биекций - $6$, всего функций - $9$.

И круглые скобки - это кортежи, где важен порядок.
$f:(1,2,3) \to (1,2,3) $.
Лучше бы фигурные, а то какая-то эта запись странная

[kw_artem]

если не только биекция, то насчитывается всего $3^3=27$ функций

[Mathusic]

kw_artem в сообщении #601862 писал(а):

если не только биекция, то насчитывается всего $3^3=27$ функций

Ну да. Я сосчитал $3^3$ как $9$ (Для функций от $n$ переменных и множества из $k$ элементов будет же $k^{k^n}$)

[Grisg]

Ок. Спасибо. Еще несколько утверждений на проверку. Для 3 элементного множества (1,2,3).

Определим на этом множестве две функции: $f_e: f_e(n)=n$ тождественная, $f_o: f_o(n)=4-n$ - обратная. Так что, $f_e: \{ \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}\} $ и $f_o: \{\{1, 2, 3\} \to \{3, 2, 1\}\}$

Будем для каждой функции, определенной на этом множестве рассматривать k композиций, вопрос в том, сколько будет среди этих композиций функций равных , обратной или тождественной при каждом k.

Насколько я понимаю, небиективные функции сразу отпадают, так как в их области значений не совпадут с областью значений обратной и тождественной. Так что, рассматривая 6 биективных функций, : $\{f_1:\{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}, f_2: \{1, 2, 3\} \to \{1, 3, 2\}, f_3: \{1, 2, 3\} \to \{2, 1, 3\}, f_4: \{1, 2, 3\} \to \{2, 3, 1\}, f_5: \{1, 2, 3\} \to \{3, 1, 2\}, f_6: \{1, 2, 3\} \to \{3, 2, 1\}\}$.

Находим ответ:

k - четное, обратных нет, тождественной функции равны k композиций каждой из 4 функций $f_1 \circ ... \circ f_1, f_2 \circ ... \circ f_2, f_3 \circ ... \circ f_3, f_6 \circ ... \circ f_6$.

k - нечетное тождественной функции равны k композиций каждой из 3 функций $f_1, f_4, f_5 $. Обратную функцию дают композиции $f_6$.



Будем рассматривать

[kw_artem]

где $k$ - нечетное, верно только $f_1, f_6$. количество композиций $f_4, f_5$ должно быть кратно $3$-ем (для тождественной функции).

[arseniiv]

Grisg в сообщении #601890 писал(а):

$f_e: \{ \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\}\} $ и $f_o: \{\{1, 2, 3\} \to \{3, 2, 1\}\}$

То, что вы хотели записать, записывается как
$f_e = \{ (1, 1), (2, 2), (3, 3) \}$,
$f_o = \{ (1, 3), (2, 2), (3, 1) \}$.

Не забывайте, что $\{3, 2, 1\} \equiv \{1, 2, 3\}$ (то бишь, то же самое).