2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 15:38 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Пусть даны числа $c_1,...,c_r$, $1<c_1<\ldots<c_r$. Рассматриваем всевозможные произведения $P_I=\prod\limits_{i\in I\subseteq \{1,\ldots,r\}}c_i$ - их всего $2^r$ ($P_{\varnothing}=1$). Как распределены числа $P_I$? Мне чудится что-то вроде логнормального распределения, но это не оно. Например, в частном случае, когда все $c_i\approx c$ - близки по величине, но находятся далеко от $1$, получаем, что $|I|<|J|\Rightarrow P_I<P_J$. Т.е. если отложить произведения на числовой оси, то сначала идет $1$, потом $c_1,...,c_r$ - $C_r^1$ штук, потом попарные произведения - всего $C_r^2$ штук и так далее. Значит в точках, равных примерно $c^k$ функция распределения $F(x)$ подпрыгивает на $C_r^k$, а биномиальные коэффициенты определяют нормальное распределение. Тогда $F(x)\approx C \int\limits_0^x\exp \left(-\frac{\ln t - \ln a}{K}\right)^2dt$ - похоже на логнормальное, но в знаменателе нету $t$. Предположительно $a=\sqrt{c_1\ldots c_r}$. Чему равно $K$ - не знаю (возможно еще надо $\ln t$ поделить на $\ln c$, но чему равно $c$? $\sqrt[r]{c_1\ldots c_r}$). Чему равен интеграл $\int\limits_0^{\infty}\exp \left(-\frac{\ln t - \ln a}{K}\right)^2dt$ - тоже не знаю.
Есть литература об этом? Теоремы какие-нибудь? Как это называется все? Или самому пилить? :-(
Только нужны не вероятностные утверждения, а точные. Возможно, что еще распределение зависит от самой последовательности $c_k$.
Это интересно, например, тем, что такое распределение имеют все делители числа, свободного от квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 16:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А Вы не хотите взять от $c_i$ логарифмы $b_i=\ln c_i$ и рассмотреть сначала их всевозможные суммы и распределение сумм?
$S_I=\ln P_I=\sum\limits_{i\in I}b_i\;,\quad S_{\varnothing}=0$
Кажется, это проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 17:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
svv в сообщении #601030 писал(а):
А Вы не хотите взять от $c_i$ логарифмы $b_i=\ln c_i$ и рассмотреть сначала их всевозможные суммы и распределение сумм?
$S_I=\ln P_I=\sum\limits_{i\in I}b_i\;,\quad S_{\varnothing}=0$
Кажется, это проще.
Хочу, буду пробовать.
Только исчезла уверенность, что для любой последовательности функция распределения одна и та же.
Для $c_1=...=c_r$ функция распределения $F(x)=\sum\limits_{k=0}^{\min (k, \ln x)}C_r^k \approx 2^n \Phi (\frac{[\ln x]-r/2}{\sigma})$ - это просто преобразование нормального распределения.
Попробую для $c_j=2^j$ сосчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 18:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Для сумм — сразу в подарок:
1) То, что "распределение" симметрично относительно полусуммы всех слагаемых. Каждой сумме соответствует "дополнительная" сумма.
2) Геометрическая интерпретация: берем $r$-мерный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. У каждой вершины $i$-я координата равна $0$ или $b_i$. Каждой вершине соответствует сумма $S_I$ — это сумма всех координат вершины. Можно ещё провести семейство параллельных плоскостей $x_1+...+x_r=\operatorname{const}$ и ортогональную им прямую $x_1=...=x_r$. И смотреть, как расположены ортогональные проекции вершин параллелепипеда на эту прямую (так же, как суммы $S_I$ на вещественной прямой, с точностью до постоянного множителя).
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 20:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
svv в сообщении #601130 писал(а):
Для сумм — сразу в подарок:
Спасибо :-) Я это знаю, но я не знаю, как этим пользоваться для вычислений или доказательства :-(
Для $c_j=j,j=1,...,r$ вектор значений, очевидно, задается ПФ $(1+t)(1+t^2)\ldots(1+t^r)$, или, рекуррентно, $v_{r+1}=v_r+(0)^{r+1}\times v_r$ (не знаю, как это нормально записать. Т.е. чтобы получить следующий вектор, берем 2 предыдущих вектора, один из них сдвигаем вправо на $r+1$ координат и складываем).
Посчитал для $r=11$ численно и нарисовал - получается нечто очень похожее на гауссиану, почти без отклонений. Вот как теперь доказать, что это действительно гауссиана? И как еще погрешность оценить?

И еще мне надо для $c_j = \ln j$ распределение найти. Для $c_j = \operatorname{const}$ получается $F(x)=2^n\Phi (\frac{\ln x -a_0}{\sigma_0})$, для $c_j=j$ - тоже $F(x)=2^n\Phi (\frac{\ln x -a_1}{\sigma_1})$. Можно ли утверждать, что если произведения последовательностей $a_k$ и $b_k$ имеют одну и ту же функцию распределения, то для любой последовательности $c_k:a_k\leqslant c_k\leqslant b_k$ функция распределения будет та же (просто параметры другие)? (как раз получил бы утверждение для $c_k = \ln k$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение30.07.2012, 21:02 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
В порядке бреда (ночь уже, все-таки): может, что-то выйдет, если сначала рассмотреть распределение для фиксированного числа слагаемых? Вообще кажется очевидным, что если общее число $r$ устремлять к бесконечности, то основной вклад в распределение станут вносить только те суммы, в которых число слагаемых близко к $\frac{r}{2}$. Может, тогда только их и учитывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение31.07.2012, 14:46 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Товарищи, я пишу чепуху, а Вы меня почему-то не исправляете :-( Здесь же надо просто применить ЦПТ.
Каждому члену последовательности $c_k$ поставим в соответствие случайную величину $\xi _k$, равномерно распределенную на множестве $\{0;c_k\}$, $M(\xi_k)=\frac{c_k}{2}, D(\xi _k)=\frac{c_k^2}{12}$, все величины $\xi_k$ независимы. Дисперсии маленькие, потому распределение должно сходиться к нормальному. Я только не могу удобный вариант ЦПТ найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение31.07.2012, 19:12 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Теорема Ляпунова: $X_k$ - последовательность величин, $M(X_k)=a_k, D(X_k)=b_k^2$, обозначим $A_n=\sum\limits_{k=1}^na_k, B_n^2=\sum\limits_{k=1}^nb_k^2$ сумма $S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k, Z_n=\frac{S_n-A_n}{B_n}$ имеет распределение, стремящееся к нормальному, если $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{C_n}{B_n^{2+\epsilon}}=0$, где $C_n=\sum\limits_{k=1}^nM|X_k-a_k|^{2+\epsilon}$.
(я правильно понимаю, что достаточно доказать для некоторого $\epsilon$? Или надо для всех?)
Применяем в лоб: $c_k=k, a_k=\frac{k}{2}, b_k^2=\frac{k^2}{12}, B_n^2\sim\frac{n^3}{36}, M|X_k-c_k|=\frac{k}{2}, C_n\sim\frac{n^{3+\epsilon}}{2^{2+\epsilon}(3+\epsilon)}$, тогда отношение $\sim\frac{\frac{n^{3+\epsilon}}{2^{2+\epsilon}(3+\epsilon)}}{\frac{n^{3+3/2\epsilon}}{6^{2+\epsilon}}}\sim C(\epsilon)\frac{1}{\sqrt{n}}=0$.
Всё :-)
Еще бы доказать это
Sonic86 в сообщении #601190 писал(а):
если произведения последовательностей $a_k$ и $b_k$ имеют одну и ту же функцию распределения, то для любой последовательности $c_k:a_k\leqslant c_k\leqslant b_k$ функция распределения будет та же (просто параметры другие)? (как раз получил бы утверждение для $c_k = \ln k$)
и ошибку найти

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение01.08.2012, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
В пределе логнормальное и будет. "t в знаменателе" в формуле для плотности, а не для функции распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение01.08.2012, 09:57 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Евгений Машеров в сообщении #601756 писал(а):
В пределе логнормальное и будет. "t в знаменателе" в формуле для плотности, а не для функции распределения.
Да, действительно так, спасибо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение01.08.2012, 20:49 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Для $c_k=k, n=10$ построил функцию распределения и сравнил с предельной - максимум отклонения вышел примерно $25$.
Оказывается, для оценки можно использовать неравенство Берри-Эссеена (как хорошо. что оно есть в Википедии, а еще оно есть в книжке Петрова Сумма независимых случайных величин).
Осталось только все посчитать.
Больше вопросов у меня тут нет.
Всем большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Распределение произведений чисел
Сообщение02.08.2012, 20:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

...поскольку мою курсовую никто читать не будет, сердечник трансформатора сделаем из дерева...

Нет, нифига, неравенство Берри-Эссеена слишком общее. Число чисел оценивается как $2^r(\Phi(\frac{x-a_r}{s_r})+\frac{C\rho_r}{s_r^3})$, при малых $x$ получаем оценку $O(\frac{2^r}{r^a})$, что очень много, хотя для $c_k=k$ число сумм $\leqslant n$ явно не превосходит $C\sqrt{n}^{\sqrt{n}}$, что меньше экспоненты. Значит надо использовать более конкретные факты... Какие именно? Я еще попробую сделать оценку по аналогии с выводом формулы для распределения Пуассона, хотя не знаю, что получится...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group