Распределение произведений чисел

[Sonic86]

Пусть даны числа $c_1,...,c_r$, $1<c_1<\ldots<c_r$. Рассматриваем всевозможные произведения $P_I=\prod\limits_{i\in I\subseteq \{1,\ldots,r\}}c_i$ - их всего $2^r$ ($P_{\varnothing}=1$). Как распределены числа $P_I$? Мне чудится что-то вроде логнормального распределения, но это не оно. Например, в частном случае, когда все $c_i\approx c$ - близки по величине, но находятся далеко от $1$, получаем, что $|I|<|J|\Rightarrow P_I<P_J$. Т.е. если отложить произведения на числовой оси, то сначала идет $1$, потом $c_1,...,c_r$ - $C_r^1$ штук, потом попарные произведения - всего $C_r^2$ штук и так далее. Значит в точках, равных примерно $c^k$ функция распределения $F(x)$ подпрыгивает на $C_r^k$, а биномиальные коэффициенты определяют нормальное распределение. Тогда $F(x)\approx C \int\limits_0^x\exp \left(-\frac{\ln t - \ln a}{K}\right)^2dt$ - похоже на логнормальное, но в знаменателе нету $t$. Предположительно $a=\sqrt{c_1\ldots c_r}$. Чему равно $K$ - не знаю (возможно еще надо $\ln t$ поделить на $\ln c$, но чему равно $c$? $\sqrt[r]{c_1\ldots c_r}$). Чему равен интеграл $\int\limits_0^{\infty}\exp \left(-\frac{\ln t - \ln a}{K}\right)^2dt$ - тоже не знаю.
Есть литература об этом? Теоремы какие-нибудь? Как это называется все? Или самому пилить?
Только нужны не вероятностные утверждения, а точные. Возможно, что еще распределение зависит от самой последовательности $c_k$.
Это интересно, например, тем, что такое распределение имеют все делители числа, свободного от квадратов.

[svv]

А Вы не хотите взять от $c_i$ логарифмы $b_i=\ln c_i$ и рассмотреть сначала их всевозможные суммы и распределение сумм?
$S_I=\ln P_I=\sum\limits_{i\in I}b_i\;,\quad S_{\varnothing}=0$
Кажется, это проще.

[Sonic86]

svv в сообщении #601030 писал(а):

А Вы не хотите взять от $c_i$ логарифмы $b_i=\ln c_i$ и рассмотреть сначала их всевозможные суммы и распределение сумм?
$S_I=\ln P_I=\sum\limits_{i\in I}b_i\;,\quad S_{\varnothing}=0$
Кажется, это проще.

Хочу, буду пробовать.
Только исчезла уверенность, что для любой последовательности функция распределения одна и та же.
Для $c_1=...=c_r$ функция распределения $F(x)=\sum\limits_{k=0}^{\min (k, \ln x)}C_r^k \approx 2^n \Phi (\frac{[\ln x]-r/2}{\sigma})$ - это просто преобразование нормального распределения.
Попробую для $c_j=2^j$ сосчитать.

[svv]

Для сумм — сразу в подарок:
1) То, что "распределение" симметрично относительно полусуммы всех слагаемых. Каждой сумме соответствует "дополнительная" сумма.
2) Геометрическая интерпретация: берем $r$-мерный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат. У каждой вершины $i$-я координата равна $0$ или $b_i$. Каждой вершине соответствует сумма $S_I$ — это сумма всех координат вершины. Можно ещё провести семейство параллельных плоскостей $x_1+...+x_r=\operatorname{const}$ и ортогональную им прямую $x_1=...=x_r$. И смотреть, как расположены ортогональные проекции вершин параллелепипеда на эту прямую (так же, как суммы $S_I$ на вещественной прямой, с точностью до постоянного множителя).

[Sonic86]

svv в сообщении #601130 писал(а):

Для сумм — сразу в подарок:

Спасибо Я это знаю, но я не знаю, как этим пользоваться для вычислений или доказательства
Для $c_j=j,j=1,...,r$ вектор значений, очевидно, задается ПФ $(1+t)(1+t^2)\ldots(1+t^r)$, или, рекуррентно, $v_{r+1}=v_r+(0)^{r+1}\times v_r$ (не знаю, как это нормально записать. Т.е. чтобы получить следующий вектор, берем 2 предыдущих вектора, один из них сдвигаем вправо на $r+1$ координат и складываем).
Посчитал для $r=11$ численно и нарисовал - получается нечто очень похожее на гауссиану, почти без отклонений. Вот как теперь доказать, что это действительно гауссиана? И как еще погрешность оценить?

И еще мне надо для $c_j = \ln j$ распределение найти. Для $c_j = \operatorname{const}$ получается $F(x)=2^n\Phi (\frac{\ln x -a_0}{\sigma_0})$, для $c_j=j$ - тоже $F(x)=2^n\Phi (\frac{\ln x -a_1}{\sigma_1})$. Можно ли утверждать, что если произведения последовательностей $a_k$ и $b_k$ имеют одну и ту же функцию распределения, то для любой последовательности $c_k:a_k\leqslant c_k\leqslant b_k$ функция распределения будет та же (просто параметры другие)? (как раз получил бы утверждение для $c_k = \ln k$)

[INGELRII]

В порядке бреда (ночь уже, все-таки): может, что-то выйдет, если сначала рассмотреть распределение для фиксированного числа слагаемых? Вообще кажется очевидным, что если общее число $r$ устремлять к бесконечности, то основной вклад в распределение станут вносить только те суммы, в которых число слагаемых близко к $\frac{r}{2}$. Может, тогда только их и учитывать?

[Sonic86]

Товарищи, я пишу чепуху, а Вы меня почему-то не исправляете Здесь же надо просто применить ЦПТ.
Каждому члену последовательности $c_k$ поставим в соответствие случайную величину $\xi _k$, равномерно распределенную на множестве $\{0;c_k\}$, $M(\xi_k)=\frac{c_k}{2}, D(\xi _k)=\frac{c_k^2}{12}$, все величины $\xi_k$ независимы. Дисперсии маленькие, потому распределение должно сходиться к нормальному. Я только не могу удобный вариант ЦПТ найти.

[Sonic86]

Теорема Ляпунова: $X_k$ - последовательность величин, $M(X_k)=a_k, D(X_k)=b_k^2$, обозначим $A_n=\sum\limits_{k=1}^na_k, B_n^2=\sum\limits_{k=1}^nb_k^2$ сумма $S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k, Z_n=\frac{S_n-A_n}{B_n}$ имеет распределение, стремящееся к нормальному, если $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{C_n}{B_n^{2+\epsilon}}=0$, где $C_n=\sum\limits_{k=1}^nM|X_k-a_k|^{2+\epsilon}$.
(я правильно понимаю, что достаточно доказать для некоторого $\epsilon$? Или надо для всех?)
Применяем в лоб: $c_k=k, a_k=\frac{k}{2}, b_k^2=\frac{k^2}{12}, B_n^2\sim\frac{n^3}{36}, M|X_k-c_k|=\frac{k}{2}, C_n\sim\frac{n^{3+\epsilon}}{2^{2+\epsilon}(3+\epsilon)}$, тогда отношение $\sim\frac{\frac{n^{3+\epsilon}}{2^{2+\epsilon}(3+\epsilon)}}{\frac{n^{3+3/2\epsilon}}{6^{2+\epsilon}}}\sim C(\epsilon)\frac{1}{\sqrt{n}}=0$.
Всё
Еще бы доказать это

Sonic86 в сообщении #601190 писал(а):

если произведения последовательностей $a_k$ и $b_k$ имеют одну и ту же функцию распределения, то для любой последовательности $c_k:a_k\leqslant c_k\leqslant b_k$ функция распределения будет та же (просто параметры другие)? (как раз получил бы утверждение для $c_k = \ln k$)

и ошибку найти

[Евгений Машеров]

В пределе логнормальное и будет. "t в знаменателе" в формуле для плотности, а не для функции распределения.

[Sonic86]

Евгений Машеров в сообщении #601756 писал(а):

В пределе логнормальное и будет. "t в знаменателе" в формуле для плотности, а не для функции распределения.

Да, действительно так, спасибо

[Sonic86]

Для $c_k=k, n=10$ построил функцию распределения и сравнил с предельной - максимум отклонения вышел примерно $25$.
Оказывается, для оценки можно использовать неравенство Берри-Эссеена (как хорошо. что оно есть в Википедии, а еще оно есть в книжке Петрова Сумма независимых случайных величин).
Осталось только все посчитать.
Больше вопросов у меня тут нет.
Всем большое спасибо.

[Sonic86]

(Оффтоп)

...поскольку мою курсовую никто читать не будет, сердечник трансформатора сделаем из дерева...

Нет, нифига, неравенство Берри-Эссеена слишком общее. Число чисел оценивается как $2^r(\Phi(\frac{x-a_r}{s_r})+\frac{C\rho_r}{s_r^3})$, при малых $x$ получаем оценку $O(\frac{2^r}{r^a})$, что очень много, хотя для $c_k=k$ число сумм $\leqslant n$ явно не превосходит $C\sqrt{n}^{\sqrt{n}}$, что меньше экспоненты. Значит надо использовать более конкретные факты... Какие именно? Я еще попробую сделать оценку по аналогии с выводом формулы для распределения Пуассона, хотя не знаю, что получится...