3.3. Докажите, что точки

,

и

лежать на одной прямой.
Звичайно ж, лежать!

Луч

, параллельный основанию

равнобедренного треугольника

, является биссектрисой угла, смежного

. Кроме этого,

. Аналогично,

- биссектриса угла, смежного

и

. Это говорит о том, что

- центр вневписанной окружности

и, помимо этого,

.
Пусть

- основание перпендикуляра, опущенного из точки

на сторону

и одновременно точка касания этой стороны вневписанной окружностью. Сравнивая длины касательных, нетрудно получить, что

.
Отобразим треугольник

симметрично относительно серединного перпендикуляра к стороне

. При этом точки

и

поменяются местами, вершина

перейдёт в точку

, также лежащую на окружности

(т.к.

,) а точка

- в точку

, симметричную

относительно середины

, точки

. Т.к. прямая

делит медиану

в отношении

, считая от вершины

, т.е. пересекает эту медиану именно в центроиде

, то эта прямая совпадает с прямой

и

- хорда окружности

.
Пусть теперь

- вторая точка пересечения прямой

с окружностью

. Из

следует, что

. Из равенств

и

следует, что аналогами точек

и

треугольника

в подобном ему треугольнике

будут соответственно точки

и

. Отсюда

, значит дуги

и

совпадают и

, что и означает требуемое утверждение.