Десять чисел

[DjD USB]

существуют ли десять таких натуральных чисел что у любых девяти из них есть общий натуральный делитель больший единицы а у десяти нет общего делителя большего единицы

[nnosipov]

Для начала возьмите 10 различных простых чисел.

[Евгений Машеров]

Существует.
И подсказка №2.
Поскольку 10 разных простых чисел ответом на вопрос не являются, спрашивается, а что можно с ними сделать?

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #601372 писал(а):

Для начала возьмите 10 различных простых чисел.

Я извеняюсь что не отвечал я уже с первой подсказки все понял(т.е идея пришла спасибо)

[Mathusic]

DjD USB в сообщении #601455 писал(а):

Я извеняюсь что не отвечал я уже с первой подсказки все понял(т.е идея пришла спасибо)

Не надо извиняться. Лучше покажите, что у вас получилось

[DjD USB]

Хоть эта задача залижалась, я напишу свое решение. Как уже говорилось, возьмем 10 различных простых числе. Теперь берем какие-нибудь 9 из них умножаем каждого из них на какоето простое число отличное от уже записанных. Далее идем берем другую девятку чисел и делаем тоже и самое только умножаем уже на другое простое отличное от записанных и т.д. Мы можем продолжать это бессконечно т.к простых чисел бесконечно много.

[Someone]

Я не понял, какие же 10 чисел у Вас получились.

[DjD USB]

Ответ на поставленный вопрос задачи: существуют

[Someone]

Не вижу, почему существуют. Что-то на что-то Вы там умножаете... Ну и что? Результат-то какой?
Взяли Вы 9 простых из 10 заранее выбранных, умножили на одиннадцатое простое число. Получили 9 чисел. Потом взяли другие 9 чисел. (Кстати, из тех же 10 простых?) Умножили их на двенадцатое простое число, получили ещё 9 чисел. И так далее.

Вы задачу-то поняли? У Вас должно получиться ровно 10 чисел, обладающих таким свойством: их наибольший общий делитель равен 1, но если мы любое одно число из 10 отбросим, то оставшиеся 9 имеют общий делитель, больший 1. Где Ваши 10 чисел?

[Vova_Gidro]

Возьмем десять разных простых чисел $p_i, i=1,..,10$. Составим следующие десять натуральных чисел $n_i$ по такому правилу:
$n_1=p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_2=p_1\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_3=p_1\cdot p_2\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_4=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_5=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_6=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_7=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_8\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_8=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_9\cdot p_{10}$,
$n_9=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_{10}$,
$n_{10}=p_1 \cdot p_2\cdot p_3\cdot p_4\cdot p_5\cdot p_6\cdot p_7\cdot p_8\cdot p_9 $.
Мне кажется, что эти десять чисел отвечают условиям задачи. Или нет?

[DjD USB]

Someone в сообщении #635385 писал(а):

Не вижу, почему существуют. Что-то на что-то Вы там умножаете... Ну и что? Результат-то какой?
Взяли Вы 9 простых из 10 заранее выбранных, умножили на одиннадцатое простое число. Получили 9 чисел. Потом взяли другие 9 чисел. (Кстати, из тех же 10 простых?) Умножили их на двенадцатое простое число, получили ещё 9 чисел. И так далее.

Вы задачу-то поняли? У Вас должно получиться ровно 10 чисел, обладающих таким свойством: их наибольший общий делитель равен 1, но если мы любое одно число из 10 отбросим, то оставшиеся 9 имеют общий делитель, больший 1. Где Ваши 10 чисел?

Давайте все заного напишу. Пусть у нас есть набор различных простых чисел: $p_1,p_2,...,p_{10}$. Теперь берем любые 9 чисел из нашего набора и умножаем их на какоето простое число отличное от $p_1,....p_{10}$ ( я это делаю для того чтобы доказать существование таких чисел которых спрашиваю). Значит когда мы умножили на девять чисел на простое число у нас выходит что у 9 чисел в совокупности НОД больше 1, а у 10 чисел равен 1. Значит если мы будем брать еще 9 чисел (меняя их, но когда комбинвции из 9 чисел закончатся будем повторять) из этого же набора и проделывать ту же операцию, то получается что у любых 9 НОД больше 1, а у 10 в сов-ти равен 1.