Смысл возведения действительно числа в иррациональную степен

[PhilB]

Добрый день!
Возник вопрос: имеет ли смысл возведения дествительного числа в иррациональную степень? И если имеет, то какой?
Заранее благодарю.

[mihailm]

Как и все в этой жизни, иногда да, иногда нет, в зависимости от цели
Например, вам надо написать контрольную на 5 (цель), в которой есть подобный пример, тогда смысл есть

[PhilB]

Мне не понятна суть этой операции.
Под словом "смысл" имелся ввиду физический/геометрический/механический смысл.

[Mathusic]

PhilB в сообщении #601141 писал(а):

Возник вопрос: имеет ли смысл возведения дествительного числа в иррациональную степень? И если имеет, то какой?

Например такой: $b>0,$ $r$ - иррациональное положительное число, тогда если $a_n$ - возрастающая последовательность его десятичных приближений, определяем $b^r$ как $\lim \limits_{n\to \infty}b^{a_n}.$

[Munin]

Имеет, если представить себе рациональные приближения этой иррациональной степени.

Физический и геометрический смысл: представьте себе график функции $y=a^x$ для некоторого $a>0.$ На нём каждой рациональной абсциссе соответствует некая ордината, и значит, иррациональной тоже - график непрерывен.

В физике бывает много процессов, выражаемых такими графиками, или их подобными. Их удобно считать непрерывными. Конечно, иррационального числа в физике задать нельзя, потому что любое число можно задать только с какой-то точностью, например, $2{,}3\pm 0{,}1$ - очевидно, здесь все числа $2{,}3,2{,}2,2{,}4$ - рациональные. Но представления о таких графиках и их непрерывности очень важны.

[Sonic86]

PhilB в сообщении #601158 писал(а):

Мне не понятна суть этой операции.
Под словом "смысл" имелся ввиду физический/геометрический/механический смысл.

Вообще говоря, смысл у математической операции может быть, но не обязан. Возможно, если поднапрячься, то для многих математических конструкций можно сконструировать какую-то физическую сущность. Можно попробовать и тут.
Только надо начать с того, какой физический смысл у иррациональных чисел (а какой - у трансцендентных??? ) Мне в голову приходит только соотношение размеров зубцов у шестеренок. Т.е. если соотношение иррационально, шестеренки вместе "не пойдут" А еще в голову приходят розы типа $\rho(\varphi) = R \cos(\alpha\pi\phi)$. Если $\alpha$ иррационально, то кривая заполняет область, иначе - сидит на некоторой кривой. Но это надо вспомнить - может ли такая роза быть траекторией частицы в каком-то поле или не может - я не помню (аналогично есть еще в фигурах Лиссажу 2 целых параметра, но я все забыл ). Может надо вспомнить какие-нибудь колебания струны или мембраны - там дискретный спектр волн получается.

[gris]

А мне кажется, что иррациональности в природе есть.
Самая классическая — длина диагонали единичного квадрата.
Конечно, в домашних условиях существует некий предел точности, может быть даже принципиальный, но взяв квадрат побольше, приняв за единицу парсек, и померив его с точностью да ангстрема, мы должны будем увеличить количество знака. Конечно, это чисто умозрительное рассуждение, но в этом и смысл иррациональности, что мы не можем ограничить количество знаков, ведь вселенная расширяется и, походу, неограниченно.
Ну а возведение в степень можно продемонстрировать каким-нибудь радиоактивным распадом за время прохождения этой самой диагонали. Здесь тоже заранее нельзя объявить количество знаков, ибо мы можем брать очень большие количества радиоактивного вещества.

[Munin]

gris в сообщении #601178 писал(а):

А мне кажется, что иррациональности в природе есть.
Самая классическая — длина единичного квадрата.

А в природе есть квадрат? Не сделанный из атомов, а вообще?

gris в сообщении #601178 писал(а):

онечно, в домашних условиях существует некий предел точности, может быть даже принципиальный, но взяв квадрат побольше, приняв за единицу парсек, и померив его с точностью да ангстрема, мы должны будем увеличить количество знака.

Тем самым, мы природу будем приближать к выдуманной нами абстракции. Обычно делают наоборот, так что поздравляю, это что-то новенькое.

gris в сообщении #601178 писал(а):

Ну а возведение в степень можно продемонстрировать каким-нибудь радиоактивным распадом

Можно было бы, но атомы распадаются по штукам.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #601227 писал(а):

Можно было бы, но атомы распадаются по штукам.

Не совсем так -- мы не в силах абсолютно достоверно зафиксировать их количество. Тут как с динозаврами: какова вероятность встретить их на улице?... одна вторая, естественно.

[Munin]

ewert в сообщении #601234 писал(а):

Не совсем так

Ну, по крайней мере, если на них пристально смотреть :-)

ewert в сообщении #601234 писал(а):

мы не в силах абсолютно достоверно зафиксировать их количество.

Ну, по крайней мере, мы можем зафиксировать количество двух атомов, трёх атомов...

[mihailm]

PhilB в сообщении #601158 писал(а):

Мне не понятна суть этой операции...

на суть этой операции всем н...ь
ЭТО работает, пользу приносит физикам, математикам

[AKM]

gris в сообщении #601178 писал(а):

... длина единичного квадрата.

gris, пока никто не прикопался, исправьте сообщение. Напишите "длина стороны единичного квадрата" или ещё что-то.
Хотя я не исключаю, что неправ. В этой вашей математике чего только не понапридумали.
Особенно с делимостями.

[Munin]

Я поначалу прочитал сослепу как "длина диагонали единичного квадрата". Но даже если там имелось в виду "длина кривой Пеано, заполняющей единичный квадрат", мой ответ сохраняет силу :-)

[gris]

Конечно, я и написал "диагонали", но почему-то слово выскочило.
Я согласен, что написал немного неуклюже и не смог показать свою мысль.
Имел в виду вот что. Корень из двух существует, естественно, только как абстракция. Есть некая формула, которая отражает некую физическую сущность. Человек, обладающий абстрактным понятием квадрата, может наблюдать в природе конфигурации, образующие квадрат в некотором приближении. Чем точнее (относительные) измерения, тем больше будет приближаться отношение длин диагонали и стороны к некоторому числу. В математике легко показывается, что оно иррационально. Но каков смысл этой иррациональности в физике (не в природе)?
Я вот и подумал, что можно придать такой смысл. То, что при любом гипотетическом увеличении относительной точности измерений стороны квадрата, а это можно сделать только увеличением размеров измеряемого объекта, так как абсолютная точность ограничена снизу, при экспериментальном определении отношения мы будем получать всё больше знаков коэффициента. Если бы корень из двух был числом рациональным, то мы обнаружили бы, что для любых измерений сколь угодно больших квадратов нам хватает дроби из двух определённых натуральных чисел.

Насчёт радиоактивности я тоже имел в виду относительную точность. Ведь подсчёт количества атомов в штуках это чисто человеческое. Какие там штуки в природе? Или объективно существует один, два, три?

Словоблудие, конечно
Но начитаешься мозговых штурмов и не то ещё напишешь.
И всё таки иррациональности в физике есть.
Вообще, если тема с самого начала заявлена как хохма, то в ней и хочется похохмить. И я восхищаюсь Вашей, munin, способности в таких темах сохранять серьёзное выражение лица .

[PhilB]

Всем спасибо, идею уловил.

Ключевая идея в том, что эта иррациональность образуется через предел. Значит можно и нужно использовать рациональное приближение и по-другому, вообще говоря, и не получится.