Частица как представление группы Лоренца.

[2.5]

EvilPhysicist
Давайте рассмотрим лагранжиан (плотность лагранжиана, если точнее) безмассового комплексного скалярного поля
$\mathscr{L}(\phi(x))=\frac12\partial_{\mu}\phi^*(x)\partial^{\mu}\phi(x)$
Известно, что при замене $x^{\mu}\to x'^{\mu}=L^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$ и $\phi(x)\to\phi'(x')=\phi(x)$ лагранжиан остается инвариантен, т.е. $\mathscr{L}(\phi(x))=\mathscr{L}(\phi'(x'))$. Очевидно, что если бы мы произвели замену $\phi(x)\to\phi'(x')=e^{i\alpha}\phi(x)$ с какой-то произвольной вещественной константой $\alpha$, то лагранжиан также остался бы неизменным. Более того, он остался бы неизменным даже если бы для каждого преобразования Лоренца $L$ константа была своя $\alpha(L)$.

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601173 писал(а):

Более того, он остался бы неизменным даже если бы для каждого преобразования Лоренца $L$ константа была своя $\alpha(L)$.

Тогда вы смешаете две разные симметрии. И не физического ни математическог смысла я у этог оне вижу.
Тем более, что вы смешиваете симметрии, которые прекрасно работают по отдельности.

[lek]

2.5 в сообщении #601155 писал(а):

Что такое $G$ в терминах $\Lambda$, $\Lambda'$, $L$? Я посмотрел определение квазигруппы, но никакой такой структуры тут не вижу. Также я не понимаю почему вы говорите о потере ассоциативности - что конкретно не ассоциативно?

Неассоциативную квазигруппу мы получаем, если определяем $G$ умножением

$$ \Lambda(L_1)e^{if(\omega_1)}*\Lambda(L_1)e^{if(\omega_1)}=\Lambda(L_3)e^{if(\omega_3)}, $$

где $L_3=L_1L_2$. В свою очередь, этот закон получается в результате постулирования отображения

$$ SL(2,\mathbb{C})\to G,\qquad \Lambda(L)\to\Lambda'(L)=\Lambda(L)e^{if(\omega)}. $$

Группа же умножения $G'$, построенная по $G$, определяется законом

$$ \Lambda(L_1)e^{if(\omega_1)}\cdot\Lambda(L_1)e^{if(\omega_1)}=\Lambda(L_1L_2)e^{if(\omega_1)+if(\omega_2)}. $$

Очевидно, $G$ совпадает с $G'$ тогда и только тогда, когда $f(\omega_3)=f(\omega_1)+f(\omega_2)$. Для произвольной функции $f=f(\omega)$ это не так...

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601163 писал(а):

Как я и говорил, представление должно быть группой, не обязательно линейным пространством.

вы это говорите так, как будто линейное пространство обязано являться группой.

Цитата:

Да, размерность линейного пространства, в группу линейных преобразований которого, осуществляется гомоморфизм исходной группы называется размерностью представления. То, над каким полем это линейное пространство, определяет из каких элементов состоят матрицы линейных операторов группы симметрии данного линейного пространства.

хорошо, тут у нас согласие

EvilPhysicist в сообщении #601163 писал(а):

Поля - физическая сущность. Как они преобразуются - к философам.
Физики описывают поля полевыми координатами.

видимо поэтому в физическом обиходе обычно не проводят различий между "полями" и "полевыми координатами", так же как и между тензором и его компонентами. Я даже не припомню чтобы где-то встречал термин "полевые координаты", может это в более математической литературе принято?

EvilPhysicist в сообщении #601163 писал(а):

Полевые координаты это не линейное пространство.

да, пожалуй соглашусь. Но они тем не в каждой точке пространства Минковского они принадлежат какому-то линейному пространству.

EvilPhysicist в сообщении #601163 писал(а):

В смысле, что они не правильные. То есть, есть множество правлиьных преобразований, которое образует представление группу Лоренца; так ваши преобразования не в этом множестве.

То, что "мои" преобразования не образуют представления группы Лоренца я говорил с самого начала. А также приводил аргументы в пользу того, почему мне это не кажется "неправильным"

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601181 писал(а):

вы это говорите так, как будто линейное пространство обязано являться группой.

Да. По сложению является, причём абелевой.

2.5 в сообщении #601181 писал(а):

видимо поэтому в физическом обиходе обычно не проводят различий между "полями" и "полевыми координатами", так же как и между тензором и его компонентами

И это печально.

2.5 в сообщении #601181 писал(а):

Но они тем не в каждой точке пространства Минковского они принадлежат какому-то линейному пространству.

При этом само это линейное простарнство нигде не учавствует.

[2.5]

lek
я почему-то не вижу что операция $*$ - не ассоциативна:
$\left(\Lambda(L_1)e^{if(\omega_{L_1})}*\Lambda(L_2)e^{if(\omega_{L_2})}\right)*\Lambda(L_3)e^{if(\omega_{L_3})}=\Lambda(L_1L_2)e^{if(\omega_{L_1L_2})}*\Lambda(L_3)e^{if(\omega_{L_3})}=\Lambda(L_1L_2L_3)e^{if(\omega_{L_1L_2L_3})}$
EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601174 писал(а):

Тогда вы смешаете две разные симметрии.

совершенно верно!

EvilPhysicist в сообщении #601174 писал(а):

И не физического ни математическог смысла я у этог оне вижу.

Ну во-первых кажется что сделав это, я могу продолжить осуществлять стандартную программу КТП - вычислять какие-то матричные элементы - вопрос - будут ли результаты такими же как и раньше?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601189 писал(а):

Ну во-первых кажется что сделав это, я могу продолжить осуществлять стандартную программу КТП - вычислять какие-то матричные элементы - вопрос - будут ли результаты такими же как и раньше?

В КТП все шаги делались очень аккуратно, а не - выберем симметрию от балды и посчитаем что оплучится.
Сначала разработали теорию, которую считали матемтаическим изыском, до тех пор, пока старая теория не перестала давать хорошие результаты.

[bayak]

EvilPhysicist в сообщении #601184 писал(а):

При этом само это линейное простарнство нигде не учавствует.

Но ведь это линейное пространство учавствует в групповом конструировании элементарных частиц в виде всевозможных представлений унитарных групп.

[EvilPhysicist]

bayak в сообщении #601199 писал(а):

Но ведь это линейное пространство учавствует в групповом конструировании элементарных частиц в виде всевозможных представлений унитарных групп.

Разве?
Если так, то я этого не знал.

[lek]

2.5 в сообщении #601189 писал(а):

я почему-то не вижу что операция $*$ - не ассоциативна:

Да, я тоже сейчас это заметил. Что же получается... $G$ и $G'$ - группы, причем отображение $GL(2,\mathbb{C})\to G$ - является гомоморфизмом, а отображение же $GL(2,\mathbb{C})\to G'$ - гомоморфизмом не является. Теперь интересно сравнить эти три группы. У меня есть подозрение, что группы $G$ и $G'$ изоморфны $GL(2,\mathbb{C})$. Так ли это?

[bayak]

EvilPhysicist в сообщении #601200 писал(а):

Разве?Если так, то я этого не знал.

А разве не спиноры вращаются в изоспинывых пространствах?

[EvilPhysicist]

bayak в сообщении #601209 писал(а):

А разве не спиноры вращаются в изоспинывых пространствах?

Наверное. Честно говоря, не знаю.

[bayak]

2.5
А что такое $\omega_{L_1L_2L_3}$?

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601195 писал(а):

В КТП все шаги делались очень аккуратно, а не - выберем симметрию от балды и посчитаем что оплучится.

Это, к сожалению, не ответ на мой вопрос. С таким же успехом можно было в самом же начале сказать что КТП долгое время разрабатывали великие ученые, а мне туда соваться со своими вопросами почему что-то так а не этак даже и думать нечего.
Я представляю себе логику этой науки так, как она изложена в некоторых учебниках. И наиболее вероятным ответ на свой вопрос вижу либо в том, что так сделать нельзя (этого у нас пока выяснить не получилось) либо в том, что полученная теория будет полностью эквивалентна имеющейтся (тут ответа нет тем более). На классическом уровне для свободных лагранжинов на первый взгляд это одно и то же. Про взаимодействия и квантование надо подумать, в этой области я себя чувствую куда более скованно.
lek

Цитата:

Да, я тоже сейчас это заметил. Что же получается... $G$ и $G'$ - группы, причем отображение $GL(2,\mathbb{C})\to G'$ - является гомоморфизмом, а отображение же $GL(2,\mathbb{C})\to G$ - гомоморфизмом не является. Теперь интересно сравнить эти три группы. У меня есть подозрение, что группы $G$ и $G'$ изоморфны $GL(2,\mathbb{C})$. Так ли это?

Ну они вряд ли изоморфны исходной группе Лоренца, поскольку мы могли бы начать и с рассмотрения тривиального представления. Могут ли они быть изоморфны между собой на первый взгляд мне не ясно.
bayak
параметры, соответствующие преобразованию лоренца, являющегося комбинацией трех $L_1L_2L_3$

[Munin]

bayak в сообщении #601209 писал(а):

А разве не спиноры вращаются в изоспинывых пространствах?

В изоспиновых пространствах спиноры есть, а пространств нет.

EvilPhysicist
Не верьте bayak на слово, он много лапши гонит.