Аналитически записать произвольную периодич. последоват-сть

[ksili]

Как аналитически записать произвольную периодическую последовательность? и желательно покороче
Например, можно ли такую последовательность
1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, ...
записать в виде (1, 2, 3) или ещё как-то.
Мне надо знать как это математически верно записывется, потому что придётся писать это в диссертации

[незваный гость]

Это уже было, ну да ладно. Последовательность с периодом $n$ записывается как $x_j = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} a_k {\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi k \,j} n}$. Дальше выражение упрощается, и сводится к вещественной сумме синусов и косинусов. В Вашем примере: $x_j = 2 + \frac{3+{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi j}{3}} + \frac{3-{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{4\pi j}{3}} = $ $ 2 + \cos\frac{2\pi j}{3}-\frac{1}{\sqrt3}\sin\frac{2\pi j}{3}$.

Этот способ не единственный, но, быть может, самый простой.

[ksili]

То есть запись через формулу i-го члена получается.
А та запись, что я предложил 100% неверна?

[незваный гость]

Я бы, скорее, написал что-то вроде $(1,2,3),…$, но это — пальцем в небо. Но Вы спросили аналитическую запись.

[Someone]

ksili писал(а):

То есть запись через формулу i-го члена получается.
А та запись, что я предложил 100% неверна?

Ну придумайте какое-нибудь удобное для Вас обозначение. Например:
$b_1,b_2,\dots,b_m,(a_1,a_2,\dots,a_n)$ - последовательность, начинающаяся с $b_1,b_2,\dots,b_m$ и с периодически повторяющейся частью $a_1,a_2,\dots,a_n$, то есть,
$b_1,b_2,\dots,b_m,a_1,a_2,\dots,a_n,a_1,a_2,\dots,a_n,a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$.

А в какой области работаете?

[ksili]

в сжатии данных. использую интерполяцию и цифровые фильтры

[ksili]

незваный гость писал(а):

Последовательность с периодом $n$ записывается как $x_j = \sum\limits_{k = 0}^{n-1} a_k {\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi k \,j} n}$. Дальше выражение упрощается, и сводится к вещественной сумме синусов и косинусов. В Вашем примере: $x_j = 2 + \frac{3+{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi j}{3}} + \frac{3-{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{4\pi j}{3}} = $ $ 2 + \cos\frac{2\pi j}{3}-\frac{1}{\sqrt3}\sin\frac{2\pi j}{3}$.

Формула, конечно, верна. Только последовательность получается не 1, 2, 3, 1, 2, 3, ..., а 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, ....
Не могли бы Вы сказать, как рассчитываются коэффициенты a_k? Ну или указать ссылку на тему на форме, где об этом говорится.

[RIP]

$$a_k=\frac1n\sum_{j=1}^nx_je^{-2\pi i\frac{kj}n}$$

Вроде бы это называется дискретное преобразование Фурье.

[незваный гость]

ksili писал(а):

Формула, конечно, верна. Только последовательность получается не 1, 2, 3, 1, 2, 3, ..., а 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, ....

Я проверил еще раз: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Самое простое $x_3$: $x_3 = 2 + \frac{3+{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{2\pi 3}{3}} + \frac{3-{\rm i}\sqrt 3}{6} {\rm e}^{{\rm i}\frac{4\pi 3}{3}} = $ $2 + \frac{3+{\rm i}\sqrt 3}{6} 1 + \frac{3-{\rm i}\sqrt 3}{6} 1 = 3$

[ksili]

Да это просто у меня нумерация с нуля