Частица как представление группы Лоренца.

[2.5]

В теории поля частицы описываются полями, реализующими представление группы Лоренца. Вопрос - необходимо ли это? Обычно в пользу этого приводятся рассуждения вроде: пусть $L$-преобразование Лоренца, $\Lambda(L)$ - соответствующее преобразование поля. Тогда два последовательных преобразования Лоренца $\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)$ должны приводить к такому же преобразованию поля, что и преобразование $\Lambda(L_2L_1)$, поскольку мы попали в ту же самую Лоренцеву систему. Мне кажется, что это необязательно - эти два различных "пути" в новую систему должны приводить к одной и той же физической конфигурации. Но если у значений поля есть некоторый произвол - например такой как градиентное преобразование у калибровочного поля $A_{\mu}\sim A_{\mu}+\partial_\mu\phi $ или глобальный фазовый множитель у спинорного поля $\psi(x)\sim e^{i\phi}\psi(x)$, то кажется что преобразования $\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)$ и $\Lambda(L_2L_1)$ могут отличаться на такое "калибровочное преобразование".
В самом ли деле можно строить теорию таких вот полей ? И если да, то будет ли она чем-то отличаться от теории полей, реализующих представление?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

В теории поля частицы описываются полями, реализующими представление группы Лоренца.

Если вы про спиноры, то не только ими. Можно, например, описывать скалярными функциями $ S =\int \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \cfrac{m}{2} \phi^2 d\Omega $.

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

Вопрос - необходимо ли это?

Да, иначе не получается.

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

$\Lambda(L)$ - соответствующее преобразование поля

Странные у вас преобразования поля, в котоых полевые координаты являются функциями преобразований Лоренца.

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

Мне кажется, что это необязательн

Как говорил мой дед: "я твой дед" "когда кажется - надо креститься".
Тут не надо казаться. Все ИСО у нас эквивалентны, - это принци относительности, - значит уравнения движения должны быть неразличимы в любой ИСО. Это, вообще говоря, не значит, что полевые координаты должны быть инвариантны по группе Лоренца, но достаточно потредовать, чтобы функция Лагранца поля была инвариантна по группе Лоренца.
То же, что вы написал "$\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)$ должны приводить к такому же преобразованию поля, что и преобразование $\Lambda(L_2L_1)$"? по сути означает, что представления группы Лоренца так же образуют группу и это очевидное требование.

2.5 в сообщении #600914 писал(а):

о кажется что преобразования $\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)$ и $\Lambda(L_2L_1)$ могут отличаться на такое "калибровочное преобразование".

Вы смешиваете преобразования пространственных координат с полевыми координатами.

[2.5]

EvilPhysicist в сообщении #600922 писал(а):

Если вы про спиноры, то не только ими. Можно, например, описывать скалярными функциями $ S =\int \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \cfrac{m}{2} \phi^2 d\Omega $.

Да, но скалярное поле $\phi$ тоже преобразуется по представлению группы Лоренца (но давайте для простоты говорить о подгруппе вращений) - с нулевым спином.

EvilPhysicist в сообщении #600922 писал(а):

Странные у вас преобразования поля, в котоых полевые координаты являются функциями преобразований Лоренца.

Прошу прощение за неясность - $\Lambda(L)$ - линейное преобразование, которое действует на какое-либо поле при преобразовании Лоренца $L$. Например для векторов $\Lambda(L)$ несет лоренцевы матричные индексы и $\Lambda(L)^{\mu}_{\nu}=L^{\mu}_{\nu}$. Для спиноров $\Lambda(L)=\exp{(-\frac{i}{8}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]\omega_{\mu\nu})}$ где $\omega_{\mu\nu}$ - стандартные параметры лоренцева преобразования. А что вы называете "полевыми координатами"? Кажется, то же самое что я "полями"? Например в выписанном вами лагранжиане скалярного поля $ \phi $ - это "полевая координата"?

EvilPhysicist в сообщении #600922 писал(а):

Все ИСО у нас эквивалентны, - это принци относительности, - значит уравнения движения должны быть неразличимы в любой ИСО. Это, вообще говоря, не значит, что полевые координаты должны быть инвариантны по группе Лоренца, но достаточно потредовать, чтобы функция Лагранца поля была инвариантна по группе Лоренца.

Так ведь значения лагранжиана на калибровочно-эквивалетных конфигурациях одинаковы.

EvilPhysicist в сообщении #600922 писал(а):

То же, что вы написал "$\Lambda(L_2) \Lambda(L_1)$ должны приводить к такому же преобразованию поля, что и преобразование $\Lambda(L_2L_1)$"? по сути означает, что представления группы Лоренца так же образуют группу и это очевидное требование.

может я тут допускаю ошибку в терминологии, но по-моему представление группы (математическое понятие) по определению должно быть группой. Тогда условие выше означает то, что рассматриваемые поля действительно являются пространством представлений.

EvilPhysicist в сообщении #600922 писал(а):

Вы смешиваете преобразования пространственных координат с полевыми координатами.

И делаю это совершенно намеренно. В этом и смысл моего вопроса.

[lek]

2.5, могли бы вы проиллюстрировать свои рассуждения на конкретном лагранжиане. Вот стандартный лагранжиан КЭД (точнее, его фермионная часть)

$$ \Cal{L}=\bar{\psi}i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+ieA_{\mu})\psi-m\bar{\psi}\psi. $$

Он одновременно является лоренц-инвариантным и калибровочно-инвариантным. Вы хотите его как-то изменить, чтобы получить новые симметрии или что?

[2.5]

lek в сообщении #600958 писал(а):

Вы его хотите как-то изменить, чтобы получить новые симметрии или что?

Нет, менять Лагранжиан я не собирался.
Вопрос состоит в следующем - известно, что если при лоренцевом преобразовании координат с параметрами $\omega_{\mu\nu}$ преобразовывать спинорное поле по закону $\psi'(x')=\Lambda(L)\psi(x)\equiv\exp{(-\frac{i}{8}[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}]\omega_{\mu\nu})}\psi(x)$, то Лагранжиан будет преобразовываться как скаляр. Мое же замечание состоит в том, что одним лишь требованием лоренц-инвариантности Лагранжиана матрица $\Lambda(L)$ не фиксируется - например, можно вместо нее взять матрицу $\Lambda'(L)=\Lambda(L)e^{if(\omega)}$ где $f(\omega)$-произвольная вещественнозначная функция от параметров преобразования Лоренца $\omega_{\mu\nu}$.
А вопрос мой состоит в следующем - действительно ли у нас есть такая свобода при выборе преобразований полей? Отличаются ли теории с разными функциями $f(\omega)$ друг от друга физически?

[Munin]

2.5
Думаю, калибровочные преобразования отпадут, когда вы станете рассматривать группу не Лоренца, а Пуанкаре.

[lek]

Пока я не вижу, чтобы получалось что-то новое. Преобразование $\Lambda'(L)$ есть просто комбинация (последовательность) преобразования Лоренца $\Lambda(L)$ и калибровочного (в данном случае не зависящего от точки пространстава-времени, т.е. глобального) преобразования $e^{if}$. То, что $f=f(\omega)$ ничего не меняет...

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #600976 писал(а):

то Лагранжиан будет преобразовываться как скаляр

Правильнее сказать, что Лагранжиан инвариантен по этой группе, потмоу что Лагранжиан по определению - скаляр и при замене координат меняться не должен. Хотя это вопрос терминологии.

2.5 в сообщении #600976 писал(а):

одним лишь требованием лоренц-инвариантности Лагранжиана матрица $\Lambda(L)$ не фиксируется

Ну и что?

2.5 в сообщении #600976 писал(а):

действительно ли у нас есть такая свобода при выборе преобразований полей?

В смысле, можем ли мы требовать инвариантности полевых координат по какой-то группе - да, можем. Как пример - стандартная модель.

2.5 в сообщении #600976 писал(а):

Отличаются ли теории с разными функциями $f(\omega)$ друг от друга физически?

Что значит физически? То, что разные частицы описываю - да.

[2.5]

Munin каким образом? Вообще мой вопрос не связан принципиально именно с лоренцевой симметрией. Для простоты можно было бы обсуждать группу вращений трехмерного пространства.
lek ну что именно нового при этом получается (если так все-таки можно сделать) мне тоже пока не видно. Изначально этот вопрос у меня возник, когда я пытался осознать - как же это так происходит, что фермион меняет знак при повороте на $2\pi $. Вот сейчас мне любопытно - могли бы определить в.ф фермионов не как спиноры (реализацию представления группы вращений) а как "подкрученные спиноры". Например я бы хотел выбрать $f(\omega) $ так, чтобы при повороте на $2\pi $ фермионная в.ф. знак не меняла (для этого в матрице поворота синоров вокруг оси $z$ достаточно добавить фактор $e^{i\phi/2}$, где $\phi$ - угол поворота).
К слову, я не утверждаю что фермионная "минус единица" это какая-то проблема и что современной науке с ней непременно надо бороться. В первую очередь мне просто любопытно можно ли так сделать. На классическом уровне, как мне кажется, это действительно ни к чему не приводит. Возможно что-то проявится на квантовом, но в этой области я пока толком думать не умею.
EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #600986 писал(а):

В смысле, можем ли мы требовать инвариантности полевых координат по какой-то группе - да, можем. Как пример - стандартная модель.

Еще раз, давайте убедимся что то, что я вы называете "полевыми координатами" - то же самое что я называю "полями".

2.5 в сообщении #600929 писал(а):

А что вы называете "полевыми координатами"? Кажется, то же самое что я "полями"? Например в выписанном вами лагранжиане скалярного поля -$\phi$ это "полевая координата"?

В таком случае мы требуем не инвариантности "полевых координат", но инвариантности Лагранжиана, из них составленного. И мое замечание состоит в том, что кажется есть различные способы это сделать в случае, например, Лагранжиана комплексного скалярного поля.

EvilPhysicist в сообщении #600986 писал(а):

Что значит физически? То, что разные частицы описываю - да.

и что же, каждой функции своя частица соответсвует? Кажется вы не совсем меня понимаете, надеюсь комментарии выше внесут ясность.

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

Еще раз, давайте убедимся что то, что я вы называете "полевыми координатами" - то же самое что я называю "полями".

Да, но я это делаю верно.
Поле - это физическая сущность <место для философской болтавни>.
Полевые координаты - величины, характризующие поля. Для скалярного поля - это функции $\phi \colon M \to \mathbb R $, которые не меняются пот действием преобразований Лоренца; для векторного $ \phi \colon M \to \mathbb R^4 $, которые преобразуются пот действием группы Лоренца определенным образом и так далее.

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

В таком случае мы требуем не инвариантности "полевых координат", но инвариантности Лагранжиана, из них составленного

Да, потому что сами окординаты нам не нужны. Важны только уравнения движения. А они получаются из действия.

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

И мое замечание состоит в том, что кажется есть различные способы это сделать в случае, например, Лагранжиана комплексного скалярного поля.

Ну и что? Напридумывать можно чего угодно.

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

и что же, каждой функции своя частица соответсвует?

Грубо говоря - да.

[Munin]

2.5 в сообщении #601000 писал(а):

Munin каким образом? Вообще мой вопрос не связан принципиально именно с лоренцевой симметрией. Для простоты можно было бы обсуждать группу вращений трехмерного пространства.

Берёте, и преобразовываете поле по-новому, добавляя к нему калибровку. Начинаете преобразовывать его по сдвигам в пространстве, удерживая требование группового свойства, и обнаруживаете, что ваша калибровка должна быть константой. Так что очень быстро вы придёте к тому, что поле будет преобразовываться по обычным представлениям преобразований Лоренца, возможно, с добавлением фазы.

-- 30.07.2012 17:14:23 --

Кажется, вопрос рассмотрен в Вайнберге...

[2.5]

EvilPhysicist

EvilPhysicist в сообщении #601020 писал(а):

Ну и что? Напридумывать можно чего угодно.

Дело в том, что это не совсем верно. В учебнике Пескина-Шредера (в моем издании на страницах 54-55, начало 3й главы) утверждается, что физические поля должны образовывать представление группы Лоренца. Далее в начале главы 4й (в моем издании страница 96)

Цитата:

Сказанное выше исчерпывает список возможных лагранжианов, включающих скалярные, векторные и спинорные частицы. Интересно отметить, что принятые в настоящее время модели сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий включают все перечисленные типы взаимодействий

"Сказанное выше" - это список перенормируемых лагранжианов, составленных из полей, образующих представление группы Лоренца. Модификация которую я рассматриваю не нарушит перенормируемости. Поэтому если она действительно возможна и физически отличается от имеющихся теорий, то она могла бы предсказывать "новые типы частиц". Конечно никаких таких амбиций у меня нет, но мне интересно куда это может привести.

EvilPhysicist в сообщении #601020 писал(а):

Грубо говоря - да.

в каком смысле? Как различить частицы, отвечающие полям с разными функциями$ f(\omega)$ экспериментально?
Munin

Munin в сообщении #601021 писал(а):

Берёте, и преобразовываете поле по-новому, добавляя к нему калибровку. Начинаете преобразовывать его по сдвигам в пространстве, удерживая требование группового свойства, и обнаруживаете, что ваша калибровка должна быть константой.

Не понимаю, что означает "удерживая требование группового свойства"?

[EvilPhysicist]

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

В учебнике Пескина-Шредера

А вы что-нибудь полегче читали? Например Рубакова, классические поля.

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

утверждается, что физические поля должны образовывать представление группы Лоренца

Можете привести точную цитату. А то, я что-то там такого не нашёл.

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

"Сказанное выше" - это список перенормируемых лагранжианов, составленных из полей, образующих представление группы Лоренца.

Просто на всякий случай. Дайте определение представление группы.

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

в каком смысле? Как различить частицы, отвечающие полям с разными функциями$ f(\omega)$ экспериментально?

По их свойствам. По спину, например.

[Munin]

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

Дело в том, что это не совсем верно. В учебнике Пескина-Шредера (в моем издании на страницах 54-55, начало 3й главы) утверждается, что физические поля должны образовывать представление группы Лоренца.

Пескин-Шрёдер - не строгий учебник. Посмотрите Вайнберга.

2.5 в сообщении #601038 писал(а):

Не понимаю, что означает "удерживая требование группового свойства"?

Вот это самое $\Lambda(T_1)\Lambda(T_2)=\Lambda(T_1T_2).$

-- 30.07.2012 18:02:55 --

EvilPhysicist в сообщении #601054 писал(а):

А вы что-нибудь полегче читали? Например Рубакова, классические поля.

Ему явно нужно не полегче, а наоборот.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #601059 писал(а):

Ему явно нужно не полегче, а наоборот.

Ну не знаю, я мельком начинал читать Пескина, Шредера. А Рубакова читал более подробно. Мне Рубаков показался более чётко выстроенным и, соответсвенно, более простым.