Вопрос о порядковых числах (выбор нумерации счетного множ-ва

[Bod]

В ряде книг встречал следующее утверждение: счетные множества А={1,2,3,...} и Б={1,3,5,...,2,4,6,....} обладают разными порядковыми числами. Попробуем это опровергнуть: Возьмем множество Б и расположим в нем элементы в соответствии с его порядковым типом, то есть так - {1,3,5,...,2,4,6,....}. Учитывая что данное множество является счетным то все его элементы могут быть занумерованы. Сделаем это в соответствии с выстроенным порядком, то есть 1 будет соответствовать номер 1, 3 - номер 2, 5 - номер 3, и.т.д. Но тогда оказывается что мы установили биективную связь с множеством А при которой выполняется условие сохранения порядка, то есть они изоморфны, а следовательно обладают одинаковым порядковым числом.
Я все же склоняюсь к мысли, что я допускаю где-то ошибку, но вот где?

[Хорхе]

Очевидно, ошибка здесь:

Цитата:

Но тогда оказывается что мы установили биективную связь с множеством А при которой выполняется условие сохранения порядка

[Bod]

Хорхе, и в чем же ошибка? связь биективна, в этом сомневаться не приходится так как каждому элементу ставится в соответствие другой и притом единственный. И в то же время учитывая тот способ каким мы произвели нумерацию приходим к тому что и порядок сохранен.

[Someone]

Bod писал(а):

Возьмем множество Б и расположим в нем элементы в соответствии с его порядковым типом, то есть так - {1,3,5,...,2,4,6,....}. Учитывая что данное множество является счетным то все его элементы могут быть занумерованы. Сделаем это в соответствии с выстроенным порядком, то есть 1 будет соответствовать номер 1, 3 - номер 2, 5 - номер 3, и.т.д.

И какой номер будет у числа 2?

[Bod]

Цитата:

И какой номер будет у числа 2?

Сложно сказать. Я понимаю что вы имеете в виду, но вот тогда получается что счетное множество не может быть занумеровано, тогда какое же оно счетное?

[Someone]

Bod писал(а):

Цитата:

И какой номер будет у числа 2?

Сложно сказать. Я понимаю что вы имеете в виду, но вот тогда получается что счетное множество не может быть занумеровано, тогда какое же оно счетное?

Почему не может быть? Просто нумеровать надо, не соблюдая имеющуюся упорядоченность.

[Bod]

Цитата:

Почему не может быть? Просто нумеровать надо, не соблюдая имеющуюся упорядоченность.

То есть получается что из того что множество счетно не следует то что мы можем его нумеровать произвольным образом?

[Someone]

Bod писал(а):

То есть получается что из того что множество счетно не следует то что мы можем его нумеровать произвольным образом?

Разумеется. Если специально не позаботиться о том, чтобы перенумеровать все элементы, то очень легко часть пропустить. И далеко не всегда такую нумерацию легко придумать. Если Вы не встречались с нумерацией множества рациональных чисел, попробуйте придумать её сами.

[Bod]

Цитата:

Если Вы не встречались с нумерацией множества рациональных чисел, попробуйте придумать её сами

Увы но уже встречался. А не имеется ли у вас в запасе примера (кроме вышеприведенного) такого что-бы от того в какой последовательности мы будем производить нумерацию счетного множества зависел бы окончательный результат.