2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вопрос о порядковых числах (выбор нумерации счетного множ-ва
Сообщение01.04.2007, 19:19 
В ряде книг встречал следующее утверждение: счетные множества А={1,2,3,...} и Б={1,3,5,...,2,4,6,....} обладают разными порядковыми числами. Попробуем это опровергнуть: Возьмем множество Б и расположим в нем элементы в соответствии с его порядковым типом, то есть так - {1,3,5,...,2,4,6,....}. Учитывая что данное множество является счетным то все его элементы могут быть занумерованы. Сделаем это в соответствии с выстроенным порядком, то есть 1 будет соответствовать номер 1, 3 - номер 2, 5 - номер 3, и.т.д. Но тогда оказывается что мы установили биективную связь с множеством А при которой выполняется условие сохранения порядка, то есть они изоморфны, а следовательно обладают одинаковым порядковым числом.
Я все же склоняюсь к мысли, что я допускаю где-то ошибку, но вот где?

 
 
 
 
Сообщение01.04.2007, 22:23 
Аватара пользователя
Очевидно, ошибка здесь:
Цитата:
Но тогда оказывается что мы установили биективную связь с множеством А при которой выполняется условие сохранения порядка

 
 
 
 
Сообщение01.04.2007, 23:18 
Хорхе, и в чем же ошибка? связь биективна, в этом сомневаться не приходится так как каждому элементу ставится в соответствие другой и притом единственный. И в то же время учитывая тот способ каким мы произвели нумерацию приходим к тому что и порядок сохранен.

 
 
 
 Re: Вопрос о порядковых числах
Сообщение01.04.2007, 23:55 
Аватара пользователя
Bod писал(а):
Возьмем множество Б и расположим в нем элементы в соответствии с его порядковым типом, то есть так - {1,3,5,...,2,4,6,....}. Учитывая что данное множество является счетным то все его элементы могут быть занумерованы. Сделаем это в соответствии с выстроенным порядком, то есть 1 будет соответствовать номер 1, 3 - номер 2, 5 - номер 3, и.т.д.


И какой номер будет у числа 2?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2007, 00:27 
Цитата:
И какой номер будет у числа 2?

Сложно сказать. Я понимаю что вы имеете в виду, но вот тогда получается что счетное множество не может быть занумеровано, тогда какое же оно счетное?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2007, 00:32 
Аватара пользователя
Bod писал(а):
Цитата:
И какой номер будет у числа 2?

Сложно сказать. Я понимаю что вы имеете в виду, но вот тогда получается что счетное множество не может быть занумеровано, тогда какое же оно счетное?


Почему не может быть? Просто нумеровать надо, не соблюдая имеющуюся упорядоченность.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2007, 00:39 
Цитата:
Почему не может быть? Просто нумеровать надо, не соблюдая имеющуюся упорядоченность.

То есть получается что из того что множество счетно не следует то что мы можем его нумеровать произвольным образом?

 
 
 
 
Сообщение02.04.2007, 00:44 
Аватара пользователя
Bod писал(а):
То есть получается что из того что множество счетно не следует то что мы можем его нумеровать произвольным образом?


Разумеется. Если специально не позаботиться о том, чтобы перенумеровать все элементы, то очень легко часть пропустить. И далеко не всегда такую нумерацию легко придумать. Если Вы не встречались с нумерацией множества рациональных чисел, попробуйте придумать её сами.

 
 
 
 
Сообщение02.04.2007, 01:09 
Цитата:
Если Вы не встречались с нумерацией множества рациональных чисел, попробуйте придумать её сами

Увы но уже встречался. А не имеется ли у вас в запасе примера (кроме вышеприведенного) такого что-бы от того в какой последовательности мы будем производить нумерацию счетного множества зависел бы окончательный результат.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group