Найти все разбиения и доказать, что других нет

[Ktina]

Множество $S=\{1, 2, 3, \dots , 2012\}$ разбито на два непустых непересекающихся подмножества А и В на следующих условиях:

1) $13\in A$
2) $a\in A \land b\in B\land a+b\in S\to a+b\in B$
3) $a\in A \land b\in B\land ab\in S\to ab\in A$

Найти все такие разбиения и доказать, что других нет.

[Профессор Снэйп]

Из п. 3 видно, что $1 \in B$.

[Shadow]

И дальше по цепочки....короче:
Все кратные 13 принадлежат А, остальные - В

[Профессор Снэйп]

Shadow в сообщении #600723 писал(а):

И дальше по цепочки....короче:
Все кратные 13 принадлежат А, остальные - В

$14 \in B$.

[Shadow]

Профессор Снэйп, согласен. Может языковое недоразумение. Под "кратные" 13 я имеел ввиду делящиеся на 13
$13,26,39\cdots \in A$ Все остальные (вклюая 14) принадлежат В

[Ktina]

$1\in B$
В противном случае, $n\in B\to n\in A$

Тогда $2\in B$, иначе $3, 5, 7, \dots , 13\in B$
Аналогично, $3, 4, 5, \dots , 12\in B$

Но $n\in B\to n+13\in B$

Стало быть, всё, что не делится на 13, отправляем в В.

Далее, поскольку $13\in A$, имеем $n\in B\to 13n\in A$

Значит, всё, что делится на 13, но не делится на 169, шлём в А.

Теперь, пусть некоторое число, делящееся на 169, находится в В.
Тогда число, на 13 большее его*, тоже должно быть в В, но оно делится на 13, но не делится на 169, значит оно уже в А.

Ответ: $13|n\to n\in A, \quad\text{иначе}\to n\in B$

*Такое число всегда есть в силу специфики числа 2012: наибольшее число, кратное 169 и не превышающее 2012, равно 1859, а вот 1872 на 13 делится, а на 169 - нет.

[Профессор Снэйп]

Я бы на месте Ктины нытуральный ряд на две части делил, а не 2012. Интереснее бы задача была.

[Shadow]

Ktina Небольшое уточнение. "кратное 169" нужно заменить на "степень 13". Только степени 13 могут быть особыми.

Ktina в сообщении #600738 писал(а):

наибольшее число, кратное 169 и не превышающее 2012, равно 1859

$1859=169\cdot 11, 169 \in A,11 \in B \Rightarrow 1859 \in A$ в любом случае.
И вообще, если "переместить" число, кратное 13 из А в В придется перемещать всех, больше его, а так нельзя.

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #600746 писал(а):

Я бы на месте Ктины нытуральный ряд на две части делил, а не 2012. Интереснее бы задача была.

Так в чём проблема?
Кто сказал, что одна тема не может содержать две или более задач?
Тем паче, что на нашем форуме такое случается не так уж и редко.