Структура абелевой группы на произвольном множестве

[Lyssa]

Возможно, вопрос совсем ламерский, но тем не менее.

Известно, что вещественные числа образуют абелеву группу относительно сложения, а положительные вещественные числа — относительно умножения. Изоморфизм этих групп задается функцией вроде exp(x). Аналогично можно ввести структуру абелевой группы на произвольном интервале (и эта группа также будет изоморфна двум предыдущим).

Можно ли ввести структуру абелевой группы на полуинтервале? А на отрезке? Если да, то как придумать операцию? Если нет, то почему? Какими условиями должно обладать произвольное множество, чтобы на нем можно было ввести коммутативную операцию?

[Mathusic]

Lyssa в сообщении #600367 писал(а):

Аналогично можно ввести структуру абелевой группы на произвольном интервале

"Аналогично" это как конкретно?

Lyssa в сообщении #600367 писал(а):

Можно ли ввести структуру абелевой группы на полуинтервале? А на отрезке? Если да, то как придумать операцию?

Между $(\mathbb{R}_{>0},\cdot)$ (или тем же $(\mathbb{R},+)$) и отрезком, например, можно устроить биекцию $\varphi$. Тогда отрезок с операцией $\circ: (a,b) \to \varphi(a) \cdot \varphi(b)$ будет группой

[Aritaborian]

Lyssa в сообщении #600367 писал(а):

Какими условиями должно обладать произвольное множество, чтобы на нем можно было ввести коммутативную операцию?

Во-первых, не условиями, а свойствами. Во-вторых, да никакими, во всяком случае, если множество конечно. Для множества любой конечной мощности строим таблицу «сложения» (или «умножения», операцию можно назвать как угодно), симметричную относительно главной диагонали. Получаем абелеву группу. Насчёт бесконечных (счётных, несчётных…) множеств не уверен.

-- 28.07.2012, 13:12 --

Впрочем, я же сам указал свойство: конечность ;-) Оно является достаточным, но, безусловно, не является необходимым.

[Mathusic]

Aritaborian в сообщении #600411 писал(а):

Насчёт бесконечных (счётных, несчётных…) множеств не уверен.

Ну, по скольку существует группа (коммутативная втч) любой мощности, то можно для всякого множества взять группу той же мощности, "наложить" на это множество и получить структуру группы.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #600417 писал(а):

Ну, по скольку существует группа (коммутативная втч) любой мощности, то можно для всякого множества взять группу той же мощности, "наложить" на это множество и получить структуру группы.

Да, конечно. Что-то я сегодня не выспался ;-)

[Lyssa]

Для конечных множеств все тривиально, есть теорема о строении конечных абелевых групп. Этот случай вообще неинтересен.

Для интервала тангенс задает изоморфизм между $(\mathbb{R}, +)$ и группой на интервале $(-\pi/2, \pi/2)$. Путем дополнительного коэффициента можно привести интервал к любому другому интервалу. Исходя из формулы для изоморфизма, можно вывести формулу и для групповой операции $\tg(a \bigoplus b) = \tg(a) + \tg(b).

Я вас разочарую, требования равномощности множеств недостаточно для изоморфизма соответствующих групп. Например, группа целых чисел относительно сложения $\mathbb{Z}$ не изоморфна группе рациональных чисел относительно сложения $\mathbb{Q}$.

Мне известен способ построить биекцию между отрезком и интервалом, но это будет именно биекция множеств, непрерывного отображения между интервалом и отрезком не существует.

P.S. Как вставлять формулы на форум? Наверняка, этот пост висит где-то в самом верху, но я его не вижу.

[Aritaborian]

Lyssa в сообщении #600422 писал(а):

Как вставлять формулы на форум?

Формулы оформляются в ТеХе. Начните, к примеру, отсюда: topic183.html.

[Lyssa]

Для интервала $(-\pi/2,\pi/2)$, $a \bigoplus b = \arctg (\tg(a) +\tg(b)) $, для произвольного интервала также легко посчитать. Меня интересуют полуинтервалы и отрезки, как простейшие случаи континуальных множеств.

Насколько я понимаю, если такая группа и существует, то она не будет изоморфна $(\mathbb{R}, +)$ из-за того, что непрерывного отображения между указанными множествами не существует.


P.S. С ТеХом разобралась, спасибо.

[Mathusic]

Lyssa в сообщении #600422 писал(а):

Я вас разочарую, требования равномощности множеств недостаточно для изоморфизма соответствующих групп.

Никто этого и не утверждал. Речь шла о задании структуры группы на произвольном множестве.
(Да и как можно говорить обо изоморфизме, если на одном из множеств операция не задана вообще?) Четко формулируйте вопросы.

Lyssa в сообщении #600432 писал(а):

Насколько я понимаю, если такая группа и существует, то она не будет изоморфна $(\mathbb{R}, +)$ из-за того, что непрерывного отображения между указанными множествами не существует.

Попробую сформулировать за вас вопрос, который вы всё пытаетесь задать.
Можно ли задать на отрезке или полуинтервале структуру группы, изоморфной $(\mathbb{R},+)$?
Ответ - да, можно. Смотрите пост под номером два. Непрерывность здесь ни при чем

[Joker_vD]

Aritaborian в сообщении #600411 писал(а):

Насчёт бесконечных (счётных, несчётных…) множеств не уверен.

Можно и для них тоже — строим биекцию $A$ и $FA$ (множества его конечных подмножеств) и вводим на $FA$ симметрическую разность.

-- Сб июл 28, 2012 17:21:12 --

Э, да еще проще: $\mathbb Z$ — бесконечная модель абелевой группый, значит, есть бесконечные модели абелевой группы любых мощностей (по теореме Лёвенгейма-Скулема).