Задача Коши для уравнения Лапласа

[Nizumi]

Помогите пожалуйста решить задачу Коши для уравнения Лапласа в следующей постановке:

$$ x{\in}(0,1), y{\in}(0,1)$$

$$ w_xx+w_yy=0$$

Краевые условия:

$$ w(0,y)=w(1,y), y{\in}(0,1)$$

$$ w(x,0)=0, w_y(x,0)=\sin{\pi}x+p{\cdot}\sin{7{\pi}x} , x{\in}(0,1), p=0.01$$

Под решением понимается функция:

$$ u_p(x)=w(x,1) $$

Мои попытки:
Я не нашёл и интернете точного общего решения уравнения Лапласа в промоугольнике.

Вот что я нашёл:
1)

$$ w(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} \sin(c_n{x}){\cdot}(A_n{ e^{c_n{y}}}+B_n{e}^{ -c_n{y}}) $$

$$ c_n={\pi}/2(2n-1) $$

Вычислим производную по y и подставим начальное условие получим:

$$ w_y(x,y)= \sum_{n=1}^{\infty} \sin{cx}{A_n{c}-B_n{c}}=\sin({\pi}x)-p\sin(7{\pi}x) $$

От сюда следует, что:

$$ Некий \sin(c_j{x})=\sin{\pi}x $$

Но:

$$ {c_j} {\in} {\lbrace}-{\pi}/2, -3{\pi}/2, -5{\pi}/2, ...{\rbrace} {\Rightarrow} c_j{\neq}\pi$$

Т.е. коэф. c несоответствует начальным условиям.
Значит уравнение Лапласа(найденное мною) неверное. Может быть различается в коэф-ах.

2) http://de.ifmo.ru/--books/0051/3/3_4/34yrlappram_1.htm

$$ w(x,y) = ({A}e^{px}+{B}e^{-px})(C\cos(py)+D\cos(py)) $$

Получаем, что C=0 и:

$$ w_y(x,0)=(A+B)D=\operatorname{const} $$

Что противоречит начальному условию.

Помогите пожалуйста найти правильное решение уравнения Лапласа в прямоугольнике.

[ewert]

Nizumi в сообщении #599452 писал(а):

$$ w_xx+w_yy=0$$

Это не так пишется, а так:

$ w''_{xx}+w''_{yy}=0$

Nizumi в сообщении #599452 писал(а):

Краевые условия:

$$ w(0,y)=w(1,y), y{\in}(0,1)$$

Этих условий недостаточно.

[V.V.]

$w=\frac{\sin(\pi x)\sh(\pi y)}{\pi}+p\frac{\sin(7\pi x)\sh(7\pi y)}{7\pi}$