Греем пластину.

[obar]

Имеется тонкая однородная металлическая пластина в форме круга, на торце которой поддерживается постоянное распределение температуры $T=f(\varphi)$ (функция $f(\varphi)$ -- задана, $\varphi$ -- полярный угол, отсчитываемый из центра). Найти температуру в центре пластины. Плоскости пластины теплоизолированны. (Задача для школьников!)

[Oleg Zubelevich]

видимо имеется в виду стационарное решение уравнения теплопроводности. Ну известно чему равна гармоническая функция в центре круга. Любопытно посмотреть на школьное решение.

[ewert]

Особенно учитывая, что школьники и интегралов-то не знают -- они их лишь проходят, но мимо.

[Утундрий]

Тоже не знаю. Нет, оно конечно может быть как-то и возможно решить сие школьными методами, только... стоит ли это делать?

[Shtorm]

obar в сообщении #598647 писал(а):

....(функция $f(\varphi)$ -- задана, $\varphi$ -- полярный угол, отсчитываемый из центра). Найти температуру в центре пластины. Плоскости пластины теплоизолированны. (Задача для школьников!)

А в школе теперь проходят полярную систему координат? Или это для физ-мат класса?

[obar]

Утундрий в сообщении #598805 писал(а):

только... стоит ли это делать?

Странный вопрос. Если есть простой (и вполне корректный) метод, то зачем решать задачу через з...у?

[Oleg Zubelevich]

во-первых не через задницу, задача является просто хорошо известным фактом из теории гармонических функций $\frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}f(\varphi)d\varphi$ , а во-вторых, это еще надо посмотреть какой он корректный, Ваш метод

[obar]

Предлагаю наводящую задачу. Имеется пластина в форме правильного треугольника, на двух гранях которой поддерживается температура $T_1$, а на третей -- $T_2$. Найти температуру в центре.

Может, кто-нибудь захочет решить эту задачу методами мат-физики? Насколько я знаю, метод разделения переменных для треугольника не проходит. И теорем про значение гармонических функций в центре треугольника тоже нет.

[Munin]

Я уверен, что дети даже принцип суперпозиции для уравнения теплопроводности не знают. Так что в полном тупике, на какие идеи решения вы намекаете.

[Oleg Zubelevich]

obar в сообщении #599226 писал(а):

Предлагаю наводящую задачу. Имеется пластина в форме правильного треугольника, на двух гранях которой поддерживается температура $T_1$, а на третей -- $T_2$. Найти температуру в центре.

а почему Вы решили, что в треугольнике существует гармоническая функция с указанными гран. условиями? Это не следует из стандартных теорем.

[ewert]

obar в сообщении #599226 писал(а):

Предлагаю наводящую задачу.

Не надо наводящих. Скажите лучше, как Вы собираетесь обойтись без интегралов (а они как минимум в исходной задачке неизбежны). К сведению: стандартные школяры о смысле понятия интеграла даже и понятия не имеют; они максимум могли это вызубрить, но, разумеется, совершенно не понимая, что зубрят. Это просто опытный факт: зазубрили, спихнули -- ну и хрен с ним.

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich, это и в Ваш камушек огород, кстати. Вы тоже зачастую постите задачки, непонятно на чего и кого рассчитанные.

[Munin]

ewert
Стандартные школяры знают словосочетание "площадь под графиком" и даже "среднее". Эти понятия используются при доказательстве свойств равноускоренного движения в 9 классе.

[obar]

Решение. Для начала рассмотрим правильный $N$-угольник, грани которого поддерживаются при постоянных температурах $T_1,T_2,\ldots,T_N$. Обозначим температуру в центре фигуры $T_0$. Воспользуемся тем, что поток тепла является линейной функцией от температуры, т.е. справедлив принцип суперпозиции. Будем поворачивать этот многоугольник $N$ раз вокруг своей оси на угол $2\pi/N$. Если наложить друг на друга эти $N$ потоков тепла, то получим конфигурацию, когда каждая сторона многоугольника поддерживается при температуре $T_s=\sum T_i$. Ясно, что в этом случае поток тепла внутри пластины отсутствует и температура в центре такая же, как и на границе. С другой стороны, температура в центре равна $NT_0$ ($N$ наложений), т.е. $T_0=T_s/N$ -- равна среднему арифметическому температур на гранях. Теперь остается лишь перейти к границе $N\rightarrow\infty$ и получить ответ

$$ T_0=\frac{1}{2\pi}\,\int_0^{2\pi}f(\varphi)d\varphi\,. $$

ewert в сообщении #599374 писал(а):

школяры о смысле понятия интеграла даже и понятия не имеют; они максимум могли это вызубрить, но, разумеется, совершенно не понимая, что зубрят.

Не надо делать из школьников тупых зубрилов. Я сам имею дело со школьниками и их сообразительности и фантазии иногда можно позавидовать. Принцип суперпозиции для них не сложнее, чем теорема Гаусса. А интеграл в этой задаче используется только как символ, обозначающий взятие среднего арифметического от бесконечного числа слагаемых.
А олимпиадные задачи -- это конечно не для "стандартного школяра".

[Oleg Zubelevich]

obar в сообщении #599467 писал(а):

Решение. Для начала рассмотрим правильный $N$-угольник, грани которого поддерживаются при постоянных температурах $T_1,T_2,\ldots,T_N$

До тех пор пока не доказано существование в этой задаче, весь разговор ни о чем. Если функция не существует, то Вы можете говорить что угодно о ее значениях – все будет истина, даже выкладок делать не надо.

[Oleg Zubelevich]

Я тут посммотрел формулы для квадрата у Комеча (Практическое решение уравнений мат. физики) так вот при краевых условиях указанных obar
распределение температур оказывается неограниченным в окрестности углов.

Поэтому проблема здесь:

obar в сообщении #599467 писал(а):

Если наложить друг на друга эти $N$ потоков тепла, то получим конфигурацию, когда каждая сторона многоугольника поддерживается при температуре $T_s=\sum T_i$. Ясно, что в этом случае поток тепла внутри пластины отсутствует и температура в центре такая же, как и на границе.

т.е. obar ошибочно полагает, что получил задачу с постоянными условиями на границе. В действительности он получил задачу в которой постоянные условия заданы не на всей границе, а на границе с выброшенными углами. Ни откуда не следует, что такая задача должна иметь лишь константное решение "и температура в центре такая же, как и на границе" .