О дискретной природе пространства-времени

[Moizey_]

На нашем местном форуме развернулась дискуссия о предсказуемости будущих событий: является ли наша вселенная детерминированной, или в ней существует "свобода воли". В конечном итоге дискуссия вышла на принцип неопределённости Гейзенберга который в Википедии определён так:

Цитата:

Если приготовлены несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться определенному распределению вероятности — это фундаментальный постулат квантовой механики. Измеряя величину стандартного отклонения Δx координаты и стандартного отклонения Δp импульса, мы найдем что: ΔxΔp $\geqslant \hbar$/2, где $\hbar$ является постоянной Планка поделенной на 2$\pi$.

Данному источнику, разумеется, следует доверять очень осторожно, однако ничего более авторитетного не нашёл. На основании данного постулата его сторонники утверждают, что предсказать поведение частиц (а следовательно и будущее) невозможно. Однако, на мой скромный взгляд, такое утверждение нельзя признать обоснованным. Во-первых, в данном определении присутствует логическая ошибка. Если копии систем "идентичны" то по определению они должны быть идентичны во всём, в том числе и в своём будущем поведении. Если они ведут себя по-разному, то разве можно называть их "идентичными"? Во-вторых, не представляю, каким образом можно в реальности получить эти копии систем. Мы ведь не можем над экспериментальным образцом проделать операцию "Copy - Paste", как в MS Word, создав действительно идентичные клоны системы. Следовательно, исходные условия данного постулата представляют собой полную абстракцию и к физике не имеют никакого отношения. Физика исследует естественные свойства природы, возможно недоступные для наблюдения или измерения на современном этапе, но эти свойства должны быть реальны. В случае же принципа неопределённости, мы НЕ имеем дело с реальностью, а значит применять его на практике нужно с ограничениями.

Если представлять движение элементарной частицы в виде волны, то вполне допустимо предположить, что волны могут быть дискретными и напоминать что-то вроде цифрового аудио- или видеосигнала, характеризуемого частотой квантования и разрядностью. В процессе квантования появляются известные искажения. Одна и та же волна может быть квантована по-разному. В результате, внешне одинаковые частицы будут вести себя по-разному, что неправильно воспринимается как "неопределённость". Интегральное и дифференциальное исчисление, тригонометрические функции весьма удобно применять для описания поведения макрообъектов, однако в случае с микромиром, если считать что он дискретен как растр картинки на мониторе, они будут давать большие ошибки. В микромире необходимо применять более простую математику — суммирование вместо интегралов, разностные уравнения вместо дифференциальных.

Подобное представление о дискретной природе частиц можно распространить и на вселенную в целом. То, что мы наблюдаем, есть поток данных подобных последовательности двоичных чисел, которыми закодирован звук или видеофильм на DVD. Отличие в том, что эти данные имеют другое количество измерений, частоты квантования, и разрядность. Они считываются не лазерной головкой, а самопроизвольно выстраиваются в логическую последовательность состояний системы. Логическая последовательность дискретных состояний и представляет собой ход времени.

Если гипотеза о дискретности микромира верна, то должны наблюдаться эффекты, присущие процессу квантования (растрирования) — специфические искажения, муар и т. п., которые можно наблюдать при бОльших увеличениях, чем необходимы для наблюдения микрочастиц.

[AlexDem]

Moizey_ писал(а):

На нашем местном форуме развернулась дискуссия о предсказуемости будущих событий: является ли наша вселенная детерминированной, или в ней существует "свобода воли".

Возможно, Вашим форумчанам следует посмотреть в сторону детерминированного хаоса? И потом, если я буду принимать решения на основе бросания монетки, будет ли это называться свободой?..

Moizey_ писал(а):

На основании данного постулата его сторонники утверждают, что предсказать поведение частиц (а следовательно и будущее) невозможно.

КМ легко предсказывает будущее поведение частиц, а иначе - зачем бы она была нужна? Это не вероятностная наука, вероятности связаны только с измерением (правда, существуют и другие интерпретации).

Moizey_ писал(а):

Во-вторых, не представляю, каким образом можно в реальности получить эти копии систем.

Ну, например, бозоны склонны находиться в одинаковом состоянии. На этом принципе работает лазер. А вообще, есть такой запрет на клонирование состояния квантовой системы - его квантовая криптография использует. Поподробнее можно посмотреть тут.

Moizey_ писал(а):

Если гипотеза о дискретности микромира верна, то должны наблюдаться эффекты, присущие процессу квантования (растрирования) — специфические искажения, муар и т. п., которые можно наблюдать при бОльших увеличениях, чем необходимы для наблюдения микрочастиц.

От частоты дискретизации зависит - почему она должна соответствовать размерам частиц? Вот каков, например, шаг дискретизации рациональных чисел?

[Moizey_]

Рациональные числа — пример математической абстракции. Согласно гипотезе о дискретности вселенной, в реальном мире отсутствуют бесконечно малые и бесконечно большие величины, можно говорить только об очень больших и очень малых величинах. Поэтому расчёт траекторий частиц, основанный на представлении об их "непрерывном движении" будет ошибочным. Микрочастицы передвигаются прыжками, исчезают на прежнем месте и появляются на новом, поэтому описывать их движение дифференциальными уравнениями, при масштабах, близких к размеру шага квантования, некорректно.

Бесконечность — это математическая абстракция, которая не имеет физического соответствия. Это идеал, как и любой другой идеальный образ, например художественный. Человек не может писать до бесконечности знаки после запятой в числе "пи", он в конце концов умрёт, ЭВМ сломается, Солнце потухнет. Линия в реальном пространстве не уходит в бесконечность, она поворачивает вместе с системой координат и в некоторых случаях может стать замкнутой. Жизнь вселенной не бесконечна, в конце концов её цикл закончится и она опять вернётся к большому взрыву.

Математика помогает описывать реальный мир, но не является им.

[AlexDem]

Moizey_ писал(а):

Микрочастицы передвигаются прыжками, исчезают на прежнем месте и появляются на новом, поэтому описывать их движение дифференциальными уравнениями, при масштабах, близких к размеру шага квантования, некорректно.

Ну, сперва бы неплохо оценить разницу в значениях, полученных с помощью дифференциальных и разностных уравнений... А вдруг мы её просто не сможем обнаружить? Ведь этот самый шаг квантования мы не определили... Если $h$, так до туда ещё далеко!

Moizey_ писал(а):

Математика помогает описывать реальный мир, но не является им.

Возможно, математику стоит понимать как науку о моделях, ну так если она чего-то неверно описывает, давайте придумаем более точную математическую модель.

Moizey_ писал(а):

Бесконечность — это математическая абстракция, которая не имеет физического соответствия.

Бездоказательно. Вселенная вполне может оказаться бесконечной, а это уже не абстракция.

[Moizey_]

Проблема не в том, что математика что-то неверно описывает, а в том что она это описывает слишком хорошо. Прямую линию лучше чем уравнением y = ax + b не опишешь. Однако к природе это имеет слабое отношение. Рисованая линия в реальности состоит из отдельных частиц пигмента, линия-нить или струна состоит из отдельных молекул или атомов. Куда ни кинь, всё не так идеально, как в математике. Вот и закрадываются сомнения насчёт реальности бесконечных величин.

[Highwind]

Moizey_ писал(а):

Проблема не в том, что математика что-то неверно описывает, а в том что она это описывает слишком хорошо. Прямую линию лучше чем уравнением y = ax + b не опишешь. Однако к природе это имеет слабое отношение. Рисованая линия в реальности состоит из отдельных частиц пигмента, линия-нить или струна состоит из отдельных молекул или атомов. Куда ни кинь, всё не так идеально, как в математике. Вот и закрадываются сомнения насчёт реальности бесконечных величин.

Вы упускаете один пункт. Есть схема

Явление $\to$ Модель явления $\to$ Математическое описание модели явления (матмодель)

Обычно люди с не очень хорошим образованием в области физики упускают среднюю часть и думают так:

Явление $\to$ Математическое описание явления

А это, естественно, неверно.

Так вот. Для тех, кто любит петь речи о том, что математика далека от реальности, хочу напомнить, что даже если это и было бы так, то других методов исследования просто нет. Есть только разговоры о том, что можно без математики обойтись. Но результатов на этом поле нет.

[zbl]

Highwind писал(а):

Так вот. Для тех, кто любит петь речи о том, что математика далека от реальности, хочу напомнить, что даже если это и было бы так, то других методов исследования просто нет. Есть только разговоры о том, что можно без математики обойтись. Но результатов на этом поле нет.

Ну, смотря, конечно, что считать результатом.
Психология, история, искусствоведение, похоже, пока обходятся без математики, и мне трудно утверждать, что в этих областях нет результатов.
Другое дело, что и им бы не мешало использовать матмоделирование: от того они только выиграли бы.
Тут важно всё таки иметь в виду, что как только кто-то начинает говорить о "серебряной пуле" в виде чего-то единственно правильного или единственно возможного, то он тем самым автоматически делает известную ошибку... "это ж диалектика, так сказать".
Незаменимость математики, думается, именно из той серии.

[Macavity]

zbl писал(а):

Highwind писал(а):

Так вот. Для тех, кто любит петь речи о том, что математика далека от реальности, хочу напомнить, что даже если это и было бы так, то других методов исследования просто нет. Есть только разговоры о том, что можно без математики обойтись. Но результатов на этом поле нет.

Ну, смотря, конечно, что считать результатом.
Психология, история, искусствоведение, похоже, пока обходятся без математики, и мне трудно утверждать, что в этих областях нет результатов.
Другое дело, что и им бы не мешало использовать матмоделирование: от того они только выиграли бы.
Тут важно всё таки иметь в виду, что как только кто-то начинает говорить о "серебряной пуле" в виде чего-то единственно правильного или единственно возможного, то он тем самым автоматически делает известную ошибку... "это ж диалектика, так сказать".
Незаменимость математики, думается, именно из той серии.

Но эти примеры не есть точные науки. И даже без математики их результаты бывают сомнительны.
А вот в таких науках как физика Вы без математики вообще не обойдетесь.

[zbl]

Дискуссия по поводу места и роли математики, думаю относится к теме ветки, потому, что, как было указано Highwind, часто путают модель и её математическую реализацию (описание), из-за чего плодятся лишние парадоксы.

Macavity писал(а):

Но эти примеры не есть точные науки.

Хмм...
А пример бы точной науки, но без математики... хмм...
Медицина?... или она не точная?

Macavity писал(а):

А вот в таких науках как физика Вы без математики вообще не обойдетесь.

До Декарта с его идеей описать вообще всё с помощью математики, вроде бы как-то обходились...
Можно ли обойтись сейчас? -- наверное, нет, так как вся современная физика основана на математике, как инструменте получения достоверных знаний.
Можно ли придумать другой инструмент? -- хмм... моделирование, но не матмоделирование...
Компьютерное моделирование? -- но это почти то же самое, хотя, тонкие отличия есть.

Итак, даёшь физику без математики; чтобы это было бы?
Матмоделирование -- это, как я себе представляю, так: составляем управляющие уравнения, пытаемся решить их аналитически, когда надоедает, решаем их численно на компьютере.
Компмоделирование здесь нужно сперва отличать от визуализации, 3D-моделирования и прочих CAD/CAM.
Применительно к физике оно выглядит так: не составляем управляющие уравнения, задаём лишь физические законы, из которых эти уравнения выводились бы, да те условия, которые при выводе нужно накладывать.
Пример тут -- метод молекулярной динамики.
Правда, те законы-то и условия проще всего формулировать, опять же, с помощью математики, но, ведь, не обязательно же.
Например, мы не обязаны выписывать формулу для потенциала взаимодействия молекул -- можно взять сразу экспериментальные данные по его измерению.
Да, но числа-то в этих данных -- это матпонятия...
Нет... компьютер-то цифровой, это комьютерные понятия; если возьмём аналоговый компьютер, то и числа не потребуются.
Выходит, без математики всё же можно?

[Macavity]

zbl писал(а):

Итак, даёшь физику без математики; чтобы это было бы?

Тогда бы пришлось отказаться от теоретической физики. Например, и для квантовой механики, теории относительности, теории суперстун необходим мат. аппарат, разработанный в теории групп, интегральном исчислении, дифферинциальном исчислении, некоммутативных алгебрах, дифференциальной геометрии и т.д. и т.п.

А ещё сомневаюсь в смысле и необходимости экспериментальной физике, если бы не было теоретической. Вот когда-то может быть, а сейчас, что толку экспериментировать без глубокой теории...
И думаю, что Highwind прав, когда говорит о Модели явления, а Котофеич, наверное сказал бы о фисическом смысле, а в своих книгах В.И. Арнольд говорил о математике как части физики, при этом замечая, что формальный язык физики (кажется со ссылкой на Зельдовича) уж очень не соответствует языку математики и зачастую, по этим же причинам, неясен математикам...

Другой вопрос - насколько математика удовлетворяет потребности физики или, скажем, тем ли занимается математика с точки зрения физики.

Вспоминаю по этому поводу шутку Андрея Миронова. На одном из концертов ему прислали записку, мол мало экспромту товарищ Миронов, экспромту маловато. На это он сказал: "Да, товарищ Миронов, маловато экспромту. А Вы, уважаемые зрители представьте, что я - артист иду мимо строящегося дома (представьте какой я строитель) и вижу каменщик кладет стену. Ну там я остановился, посмотрел, посмотрел и сказал: Не правильно кладете кирпич, товарищ каменщик. Левее надо ложить, левее..."

[Munin]

Насколько физика удовлетворяет потребностям математики...

[Macavity]

Munin писал(а):

Насколько физика удовлетворяет потребностям математики...

Вот ждём квантовый компьютер...

[Moizey_]

Дискуссия, похоже, пошла по ложному руслу.
Без математики никак. Дело лишь в том, что нужно чётко представлять, в каких границах её можно применять на практике. Предположим, что движение частицы описывается уравнением s = vt, где s — пройденный путь, v — скорость, t — время (здесь берём частный случай, описывать движение можно многими другими способами). Согласно данной модели, не обусловленной какими-либо ограничениями, пройденный путь может быть выражен рациональными числами, в том числе с бесконечной дробной частью. Но точно вычислить пройденный путь (координаты частицы) в этом случае оказывается невозможным, поскольку на точный расчёт числа с бесконечной дробной частью потребуется бесконечно большое время. Каким же образом мать-природа преодолевает это препятствие? Только одним способом — путём квантования — движения частиц, а также всех прочих мыслимых физических процессов — волновых, полевых и т. п. То есть путём ограничения их возможных состояний — не только энергетических состояний электрона в атоме, но вообще всех.

Вполне может быть, что современные фундаментальные проблемы физики связаны с попытками описать явления микромира путём применения аналитических методов. На самом деле, для решения этих проблем необходимо применить нестандартный математический аппарат — например, что-то вроде объектно-ориентированного программирования, когда каждая из элементарных частиц представляет собой класс с набором свойств, а взаимодействие между ними происходит по определённым правилам, которые нельзя описать аналитически.

[Котофеич]

Уважаемый Moizey. Идея которую Вы проповедуете, стара и принадлежит не Вам,
а известному физику Снайдеру. Вы наверное забыли, что все новое это хорошо забытое старое.

[pc20b]

Можно пару слов. Отношение между непрерывным и дискретным, между бесконечно малым и бесконечно большим в рамках бытовых представлений объяснить, очевидно, трудно. Скорее всего нужен подход в другой логике. К примеру,

дискретное = непрерывному,
бесконечно малое = бесконечно большому.

Наглядные примеры. Стиральная доска непрерывна. Но если смотреть на нее вдоль , видны лишь дискретные бугорочки. Т.е. дискретность здесь - следствие наблюдения.

Вот кирпич. Является единицей здания. Здание - единица города. Город - единица цивилизации. Цивилизация - единица вселенной. Вселенная - единица атома (кремния, к примеру). Атом кремния - единица кирпича. Этот цикл отождествляет часть и целое.

Обе эти ситуации, как ни странно, возникают при интерпретации определенных решений уравнений ОТО. Дифференциальных. Для непрерывного поля.