Можно ли обойтись без целых чисел?

[Ktina]

Кацечка Катенька написала на доске 10 попарно различных положительных рациональных чисел.
Оказалось, что для любого натурального $2\le n\le9$ среди этих десяти найдутся $n$ чисел, сумма которых - целое число.

Следует ли из этого, что Катенька написала хотя бы одно целое число?

[Профессор Снэйп]

$1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 1/4, 3/4, 5/4, 9/4, 13/4$

[Edward_Tur]

$\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}$

[Профессор Снэйп]

Условие на то, что числа должны быть попарно различны, выглядит глупо. Если вдруг два числа оказались одинаковыми, к одному из них всегда можно прибавить достаточно большое целое.

[Ktina]

Edward_Tur в сообщении #599175 писал(а):

$\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}$

Попарно различных?

[Профессор Снэйп]

Edward_Tur в сообщении #599175 писал(а):

$\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}$

Вы проглядели в условии тот пункт, что числа должны быть попарно различны

[Ktina]

Профессор Снэйп в сообщении #599173 писал(а):

$1/2, 3/2, 5/2, 7/2, 9/2, 1/4, 3/4, 5/4, 9/4, 13/4$

Вот мой пример:

$$\frac{m}{10},\quad m\in\{1, 2, 3, \dots 8, 9, 11\}$$

[Edward_Tur]

Исправил:
$1\frac{1}{3},2\frac{1}{3},3\frac{1}{3},4\frac{1}{3},5\frac{1}{3},6\frac{1}{3},7\frac{2}{3},8\frac{2}{3},9\frac{2}{3},10\frac{2}{3}$

[Edward_Tur]

Ktina в сообщении #599156 писал(а):

Кацечка Катенька написала на доске 10 попарно различных положительных рациональных чисел.
Оказалось, что для любого натурального $2\le n\le9$ среди этих десяти найдутся $n$ чисел, сумма которых - целое число.

Следует ли из этого, что Катенька написала хотя бы одно целое число?

А если добавить условие, что все числа меньше $1$?

[Ktina]

Edward_Tur в сообщении #601394 писал(а):

А если добавить условие, что все числа меньше $1$?

Если все числа положительны и меньше 1, как среди них может быть целое

[Edward_Tur]

Ktina в сообщении #601396 писал(а):

Edward_Tur в сообщении #601394 писал(а):

А если добавить условие, что все числа меньше $1$?

Если все числа положительны и меньше 1, как среди них может быть целое

Ошибся, имел ввиду следующее:
А если добавить условие, что все числа не больше $1$?

[Ktina]

Edward_Tur в сообщении #601399 писал(а):

Ошибся, имел ввиду следующее:
А если добавить условие, что все числа не больше $1$?

Дык влёгкую же:

$$\frac{m}{12},\quad m\in\{1, 2, 3, \dots 8, 9, 10\}$$

-- 31.07.2012, 12:43 --

Расписывать или и так понятно?

[Mathusic]

Ktina в сообщении #601435 писал(а):

Расписывать или и так понятно?

Непонятно, как это понять без расписывания для всех $n$, напр. $12=1+3+8$

[Ktina]

Mathusic в сообщении #601453 писал(а):

Ktina в сообщении #601435 писал(а):

Расписывать или и так понятно?

Непонятно, как это понять без расписывания для всех $n$, напр. $12=1+3+8$

Два числа: $\frac{2}{12}+\frac{10}{12}=1$
Четыре числа: $\frac{2}{12}+\frac{10}{12}+\frac{3}{12}+\frac{9}{12}=2$
Шесть чисел: $\frac{2}{12}+\frac{10}{12}+\frac{3}{12}+\frac{9}{12}+\frac{4}{12}+\frac{8}{12}=3$
Восемь чисел: $\frac{2}{12}+\frac{10}{12}+\frac{3}{12}+\frac{9}{12}+\frac{4}{12}+\frac{8}{12}+\frac{5}{12}+\frac{7}{12}=4$

Три числа: $\frac{1}{12}+\frac{5}{12}+\frac{6}{12}=1$
Пять чисел: $\frac{1}{12}+\frac{5}{12}+\frac{6}{12}+\frac{2}{12}+\frac{10}{12}=2$
Семь чисел: $\frac{1}{12}+\frac{5}{12}+\frac{6}{12}+\frac{2}{12}+\frac{10}{12}+\frac{3}{12}+\frac{9}{12}=3$
Девять чисел: $\frac{1}{12}+\frac{5}{12}+\frac{6}{12}+\frac{2}{12}+\frac{10}{12}+\frac{3}{12}+\frac{9}{12}+\frac{4}{12}+\frac{8}{12}=4$

[Mathusic]

Ktina
Я тоже самое сделал, Ktina, пред тем, как написать предыдущий пост (ну может, в другой форме для некоторых $n$)
Вот предположим, задача не для $n \in [2,9]$, а для $n \in [2,M]$. Мы же расписывать так не будем