Доказать, что число делится на 30

[Andrei94]

Доказать, что $mn(m^4-n^4)$ делится на $30$

Есть идея разложить по формуле разности квадратов дважды. Еще попробовать по индукции, но кажется, что это утопично... Как можно еще?

[Someone]

$30=2\cdot 3\cdot 5$

[Andrei94]

Someone в сообщении #598466 писал(а):

$30=2\cdot 3\cdot 5$

Ок, да, можно сначала доказать, что число делится на 2, потом на 3, потом на 5. Тем самым мы докажем, что оно делится на 30. Но как доказать, что оно делится на 2?

[Someone]

Дык, рассмотрите разные случаи: когда что-то делится на два, когда ничего не делится на два...

[Andrei94]

Ок. Когда какое-то из двух чисел четное или оба четные -- тогда очевидно, что исходное число делится на 2.

Если оба числа нечетные, то $m=2k-1$, $n=2l-1$

А дальше в таком стиле - можно к чему-то придти?

$mn(m^4-n^4)=(2k-1)(2l-1)((2k-1)^2-(2l-1)^2)((2k-1)^2+(2l-1)^2)$

-- 23.07.2012, 23:41 --

Ой, а ведь эта скобка всегда четная $((2k-1)^2-(2l-1)^2)$ значит исходное число делится на 2.

А как быть с делимостью на 3? Помню лишь признак, что сумма цифр числа должна делится на 3

[Trius]

Andrei94 в сообщении #598478 писал(а):

А как быть с делимостью на 3? Помню лишь признак, что сумма цифр числа должна делится на 3

Да так же, как и с делимостью на 2. Рассмотрите остатки от деления на 3 и 5, и посмотрите на остатки 4х степеней.

[Евгений Машеров]

Решение старательного шестиклассника.
Запишем выражение, как $mn(m-n)(m+n)(m^2+n^2)$ (про разложение суммы квадратов на уроке говорили, а про четвёртые степени он сам догадался...)
Если число делится на 30, то оно делится на 2, 3 и 5. Верно и обратное (про прямую и обратную теорему тоже только что рассказали).
2:
Если хотя бы одно из m и n делится на 2, всё произведение делится на 2. Если они оба не делятся на 2, то на 2 делится их сумма, а также разность (сомножители 3 и 4).
Следовательно, произведение на 2 делится.
3:
Если хотя бы одно из m и n делится на 3, всё произведение делится на 3. Если они оба не делятся на 3, то каждое из m и n равно 3q+1 или 3p-1. Если m=3p+1, n=3q+1 или m=3p-1, n=3q-1, то их разность делится на 3, а она сомножитель № 3. Если m=3p+1, n=3q-1 или m=3p-1, n=3q+1, то их сумма делится на 3, а она сомножитель № 4.
Следовательно, произведение на 3 делится.
5:
Если хотя бы одно из m и n делится на 5, всё произведение делится на 5. Если они оба не делятся на 5, то каждое из m и n равно чему-то из 5x+1, 5y+2, 5z-1 или 5w-2.
Если остатки от деления на 5 равны, на 5 делится разность m и n, если противоположны - сумма. Следовательно, остаётся рассмотреть варианты, когда один остаток равен по абсолютной величине единице, второй двойке. Возводя их в квадрат, видим, что один квадрат при делении на 5 даст 4, другой даст 1. То есть сумма квадратов m и n будет делиться на 5.
Следовательно, произведение на 5 делится.
Quod erat demonstrandum (шестиклассник и на исторический кружок ходит, как раз про Рим рассказывают...)

[Батороев]

Andrei94 в сообщении #598461 писал(а):

Как можно еще?

Применить Малую теорему Ферма.