Достаточные условия существования локального экстремума

[Ktina]

Наткнулась в Википедии на статью об экстремуме. На тот момент она выглядела вот так, там были описаны только два достаточных условия существования локального экстремума.

Я решила добавить третье условие, после чего статья стала выглядеть вот так.

Желаю спросить: существуют ли другие (помимо трёх вышеупомянутых) достаточные условия существования локального экстремума (для функции от одной вещественной переменной)? Если да, то я и их в статью добавлю.

Заранее благодарна!

[Shtorm]

Ktina, а почему в Достаточном условии существования экстремума всунута фраза

Цитата:

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$

???

[arqady]

Shtorm в сообщении #598154 писал(а):

Ktina, а почему в Достаточном условии существования экстремума всунута фраза

Цитата:

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$

???

Это даже мне понятно! Ведь левая и правая производные в этой точке различны. Значит, производной в самой точке не существует.

[Shtorm]

arqady в сообщении #598168 писал(а):

Это даже мне понятно! Ведь левая и правая производные в этой точке различны. Значит, производной в самой точке не существует.

Ха! А если на самом деле - она там существует? (и таких случаев больше). Тогда нужно давать определение - не через односторонние производные, либо как-то скорректировать данное.

[Ktina]

Shtorm в сообщении #598154 писал(а):

Ktina, а почему в Достаточном условии существования экстремума всунута фраза

Цитата:

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$

???

Эта фраза втиснута не мной. Я добавила только третье условие (являющееся обобщением второго), первые два условия добавили до меня.

[apriv]

Ktina в сообщении #598126 писал(а):

Я решила добавить третье условие, после чего статья стала выглядеть вот так.

Третье условие неверно; а именно, запись $f'(x_0)=f''(x_0)=\dots=f^{n-1}(x_0)=0$ не имеет смысла. Невозможно понять, как от производной делается переход к $(n-1)$-ой итерации функции $f$.

[Shtorm]

Ktina в сообщении #598178 писал(а):

Эта фраза втиснута не мной. Я добавила только третье условие (являющееся обобщением второго), первые два условия добавили до меня.

Но, Вы согласны, что она некорректно звучит? (всё же в Википедии можно вносить правки и не только в то, что лично Вы написали)

[worm2]

apriv в сообщении #598180 писал(а):

Третье условие неверно...

Поправил.

[arqady]

Shtorm в сообщении #598172 писал(а):

arqady в сообщении #598168 писал(а):

Это даже мне понятно! Ведь левая и правая производные в этой точке различны. Значит, производной в самой точке не существует.

Ха! А если на самом деле - она там существует? (и таких случаев больше). Тогда нужно давать определение - не через односторонние производные, либо как-то скорректировать данное.

Надо же в контекст смотреть:

Википедия писал(а):

Пусть функция $f\in C(x_0)$ непрерывна в $x_0\in M^0$, и существуют конечные или бесконечные односторонние производные $~f'_+(x_0)$, $f'_-(x_0)$. Тогда при условии

$f'_+(x_0) < 0$; $f'_-(x_0) > 0$

$x_0$ является точкой строгого локального максимума. А если

$f'_+(x_0) > 0$, $f'_-(x_0) < 0$,

то $x_0$ является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке $x_0$

Здесь всё правильно.

[Shtorm]

arqady, а теперь примените этот контекст, например к функции $y=x^2$. В точке $x_0=0$ функция имеет минимум, слева от точки производная отрицательна, справа от точки производная положительна, в самой точке равна нулю. И функция в самой точке дифференциируема, производная существует и равна нулю.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598195 писал(а):

слева от точки производная отрицательна, справа от точки производная положительна

Это не имеет никакого отношения к односторонним производным, о которых идет речь в тексте.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598198 писал(а):

Shtorm в сообщении #598195 писал(а):

слева от точки производная отрицательна, справа от точки производная положительна

Это не имеет никакого отношения к односторонним производным, о которых идет речь в тексте.

Хорошо. Тогда достаточное условие через односторонние производные - просто не годится (или требует другой формулировки).

[apriv]

Shtorm в сообщении #598201 писал(а):

Хорошо. Тогда достаточное условие через односторонние производные - просто не годится (или требует другой формулировки).

Почему же не годится? Оно верно, вроде бы.

[Shtorm]

apriv в сообщении #598202 писал(а):

Shtorm в сообщении #598201 писал(а):

Хорошо. Тогда достаточное условие через односторонние производные - просто не годится (или требует другой формулировки).

Почему же не годится? Оно верно, вроде бы.

Но оно чётко гласит - что в точке $x_0$ - не дифференциируема функция. А в примере - дифференциируема.

[apriv]

Shtorm в сообщении #598208 писал(а):

Но оно чётко гласит - что в точке - не дифференциируема функция. А в примере - дифференциируема.

Я уже показал, что Ваш пример не имеет отношения к формулировке критерия. В Вашем примере обе односторонние производные в точке $x_0=0$ равны нулю.