fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 10:27 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
А что, разве не подходит функция:
Если $a$ - чётное, то $f(a)=0$
Если $a$ - нечётное, то $f(a)=C$

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 10:31 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Tanechka в сообщении #594646 писал(а):
А что, разве не подходит функция:
Если $a$ - чётное, то $f(a)=0$
Если $a$ - нечётное, то $f(a)=C$

Подходит!

Я ошибся. У меня под корнями разные выражения, а я эти корни сократил :oops:

-- Чт июл 12, 2012 13:49:19 --

Получил, что если $f(2a) = 4f(a)$, то $f(a)$ должно быть чётным.

Похоже, здесь надо остатки рассматривать...

-- Чт июл 12, 2012 13:57:58 --

Кстати, вот совсем простое наблюдение: если $f(c) = 0$, то $f(a+c) = f(a)$ для всех $a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 10:58 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
$3f^2(0)=6f^2(0) \Rightarrow f(0) = 0$
$f^2(a)+f^2(-a) = 2f(a)f(-a) \Rightarrow f(a) = f(-a)$
$f^2(2a)+2f^2(a)=4f(2a)f(a)+2f^2(a)\Rightarrow f(2a)(f(2a)-4f(a)) = 0$

1) $f(2)=0$
если $f(a)=0$ , то $f(k+a)=f(k)$
Любая функция $f(2k)=0, f(2k+1)=n$ удовлетворяет условию

2) $f(2) = 4f(1)$
Для упрощения записи, положим $f(1)=1$ (расширив поле поиска до функций с областью значений в $\mathbb Q$).
Все остальные решения получатся умножением на константу.
Подставив $a=1, b=2, c=-3$ находим, что
$f(3)=9$ или $f(3)=1$

2а) $f(3) = 9$.
Покажем по индукции, что $f(k)=k^2$
База для $k=1,2,3$ верна.

$f^2(k+1)+k^4+1=(2k^2+2)f(k+1)+2k^2$
$f(k+1)=(k+1)^2$ или $f(k+1)=(k-1)^2$
То есть значения в соседних точках являются значениями соседних квадратов.
Если $k=2n+1$, то $f(k+1)=f(2n+2)=4f(n+1)=(2n+2)^2=(k+1)^2$
Если $k=2n$, то $f(k+2)=f(2n+2)=4f(n+1)=(2n+2)^2=(k+2)^2$
и $f(k+1)$ остается только один вариант $f(k+1)=(2n+1)^2=(k+1)^2$
Ч.т.д.
То есть мы или вынуждены повышать градус или успеть спуститься до нуля, как в случае

2б) $f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1$, тогда $f(4)=0$
И семейство функций:
$f(4k+1)=n, f(4k+2)=4n, f(4k+3)=n, f(4k)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 14:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
По поводу $f(x) = x^2$. Мне показалось, надо ещё проверить, что функция удовлетворяет исходным условиям. И ведь действительно удовлетворяет, ибо
$$
a^4 + b^4 + c^4 - (2a^2b^2+ 2a^2c^2 + 2b^2c^2)  = (a+b+c)(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)
$$
КАК такое можно увидеть без матпакета?!! :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 16:00 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Профессор Снэйп в сообщении #594693 писал(а):
$$
a^4 + b^4 + c^4 - (2a^2b^2+ 2a^2c^2 + 2b^2c^2)  = (a+b+c)(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)
$$
КАК такое можно увидеть без матпакета?!! :shock:

Это же известно и заезженно. Когда выводится формула, Герона можно ненароком и скобки раскрыть...

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 16:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
arqady в сообщении #594723 писал(а):
Это же известно и заезженно. Когда выводится формула, Герона можно ненароком и скобки раскрыть...

Кому-то может и известно, а мне нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 22:26 


22/11/11
128
Задача 1.
Точки $F$ и $G$ лежат на окружности с диаметром $AJ$ (это вытекает из того, что углы $LFG$ и $KGJ$ равны половине угла $A$).
Отсюда бисектрисы $BF$ и $CG$ треугольников $ABS$ и $ACT$ есть их высотами. Значит, эти тругольники равнобелреные и $MS=MT$ и равны полупериметру $ABC$.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение12.07.2012, 23:45 


22/11/11
128
Задача 3.1.Берем множество, состоящее из $2^k$ чисел и спрашиваем входит ли $x$ в это множество. Если $k+1$ раз ответили "да", то таки "да".

Теперь пусть $A$ ответил "нет". Рассмотрими, к примеру, числа $0, 1, \dots, 2^{k}-1$. Для каждого $i=1,\dots , k$ обозначим через $A_i$ множество из этих чисел, у которых на $i$-том месте в двоичной записи находится цифра ноль. $B$ последовательно спрашивает входит ли число $x$ в множество $A_i$. Считая все ответы ложными однозначно получим число $y$. Заметим, что $x\ne y$, иначе $A$ соврал $k+1$ раз подряд. Т.о., мы всегда можем уменьшить количество претендентов на один.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение13.07.2012, 05:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Там в 3.1 в условии косяк. Точнее, минимум два косяка. Первый заключается в том, что $N$ неожиданно поменялось на $n$. А второй в том, что написано $n \geqslant 2^k$, хотя по логике должно быть $N \leqslant 2^k$.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение13.07.2012, 07:47 


22/11/11
128
Все правильно в условии 3.1. Число $N$ присутствует в игре только для того, чтобы ограничить количество претендентов на $x$. Если положить $N=n$, то игрок $B$ автоматически выигрывает. И относительно неравенств все правильно. Чем меньше $n$, тем сложнее игроку $B$ выиграть. Например, если $n=1$, то он должен угадать число $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение13.07.2012, 11:31 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
lyuk в сообщении #594812 писал(а):
Все правильно в условии 3.1. Число $N$ присутствует в игре только для того, чтобы ограничить количество претендентов на $x$. Если положить $N=n$, то игрок $B$ автоматически выигрывает. И относительно неравенств все правильно. Чем меньше $n$, тем сложнее игроку $B$ выиграть. Например, если $n=1$, то он должен угадать число $x$.

Не понял. Если $N = n = 1$, то $x = 1$ и ничего угадывать не надо. И игрок $B$ выигрывает первым же ходом.

-- Пт июл 13, 2012 14:35:07 --

А вообще-то да, $n$ и $N$ обозначают разное. Там просто всё так оформлено, что первый, коротенький абзац в условии задачи легко пропустить. Я на него вначале даже не обратил внимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение14.07.2012, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Моё решение задачи 5.

Определение. Пусть имеется остроугольный треугольник. Корневым треугольником для этого треугольника назовём прямоугольный треугольник, гипотезуза которого совпадает с одной из сторон исходного треугольника, а вершина прямого угла лежит на высоте, опущенной на эту сторону (всего есть три корневых треугольника, соответствующих исходному).

Лемма. Катеты двух разных корневых треугольников, выходящие из одной вершины исходного треугольника, равны.
Доказательство. Пусть $PQR$ - исходный треугольник, $PQS$ - его корневой треугольник, $H$ - основание высоты, проведённой из вершины $R$. Т. к. $\triangle SQH \sim \triangle PQS$, то $\frac {SQ} {HQ}=\frac {PQ} {SQ}$, откуда $SQ=\sqrt {PQ \cdot HQ}=\sqrt {PQ \cdot RQ \cdot \cos {\angle PQR}}$. Но точно такую же формулу, ввиду симметричности, мы получили бы для катета $QT$ другого корневого треугольника $RQT$.

Вернёмся к исходной задаче. Проведём из т. $B$ перпендикуляр к прямой $AX$. Пусть он пересекает эту прямую в т. $E$, а прямую $CD$ - в т. $F$. Тогда т. $X$ будет ортоцентром треугольника $ABF$, через который проходит также третья высота, $BG$, а треугольник $ABC$ - его корневым треугольником. Докажем, что $ALF$ и $BKF$ также являются корневыми треугольниками $ABF$. Действительно, если $AL'F$ - корневой треугольник, то, по вышедоказанной лемме, $AL'=AC$. Но внутри высоты $BG$ есть только одна точка $L$, для которой $AL=AC$, значит $L'=L$. Аналогично доказываем, что $K'=K$, если $BK'F$ - корневой треугольник. Теперь ещё раз применим лемму и получим, что $FK=FL$, откуда будет следовать равенство прямоугольных треугольников $FMK$ и $FML$, а значит и требуемое равенство $MK=ML$.

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение15.07.2012, 19:44 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Результаты:
http://www.imo-official.org/year_indivi ... rm=western

 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение20.07.2012, 14:44 
Модератор
Аватара пользователя


30/06/10
980

(почти оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: LIII Международная Математическая Олимпиада
Сообщение21.07.2012, 23:23 
Экс-админ
Аватара пользователя


23/05/05
2106
Kyiv, Ukraine

(почти оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group